Sfera atrofida hajmi 65 dm 3 bo'lgan muntazam to'rtburchak prizma tasvirlangan. Prizmaning umumiy sirt maydoni va shar hajmining nisbatini hisoblang
Prizma, agar uning asoslari muntazam ko'pburchaklar bo'lsa va yon qirralari asosga perpendikulyar bo'lsa, u muntazam deyiladi. Muntazam to'rtburchak kvadratdir. Kvadrat diagonallarining kesishish nuqtasi uning markazi, shuningdek, unda yozilgan doira markazidir. Keling, bu haqiqatni isbotlaylik. garchi bu dalilni so'rash dargumon va uni o'tkazib yuborish mumkin
Parallelogramma, to'rtburchak va rombning maxsus turi sifatida kvadrat o'z xususiyatlariga ega: diagonallar teng va kesishish nuqtasi bilan ikkiga bo'lingan va kvadrat burchaklarining bissektrisalaridir. E nuqta orqali AB ga parallel TK to'g'ri chiziq o'tkazamiz. AB BC ga perpendikulyar, ya'ni TC ham BC ga perpendikulyar (agar ikkita parallel to'g'ri chiziqdan biri istalgan uchinchi chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, ikkinchi parallel chiziq shu (uchinchi) chiziqqa perpendikulyar). Xuddi shu tarzda biz to'g'ridan-to'g'ri MRni amalga oshiramiz. To'g'ri burchakli BET va AEK uchburchaklari gipotenuza va o'tkir burchakda teng (BE=AE - diagonallarning yarmi, ∠ EBT=∠ EAK - to'g'ri burchakning yarmi), bu ET=EK degan ma'noni anglatadi. Xuddi shu tarzda biz EM=EP ekanligini isbotlaymiz. Va CEP va CET uchburchaklarining tengligidan (bir xil belgi) biz ET = EP ekanligini ko'ramiz, ya'ni. ET=EP=EK=EM yoki oddiygina M nuqta kvadratning yon tomonlaridan teng masofada joylashganligini ayting va bu uni ushbu kvadratga chizilgan doira markazi deb tan olish uchun zaruriy shartdir.
AVTC to'rtburchakni ko'rib chiqing (bu to'rtburchak to'rtburchaklar, chunki undagi barcha burchaklar qurilishi bo'yicha to'g'ri burchaklardir). To'rtburchakda qarama-qarshi tomonlar teng - AB = CT (ta'kidlash kerakki, CT asosning diametridir) - bu taglikning yon tomoni chizilgan doira diametriga teng ekanligini anglatadi.
Keling, mos ravishda AA 1, CC 1 va BB 1 va DD 1 (parallel to'g'ri chiziqlar faqat bitta tekislikni belgilaydi) parallel (bir tekislikka perpendikulyar ikkita to'g'ri chiziq parallel) orqali tekisliklarni o'tkazamiz. AA 1 C 1 C va BB 1 D 1 D tekisliklari ABCD asosiga perpendikulyar, chunki unga perpendikulyar to'g'ri chiziqlar (lateral qovurg'alar) orqali o'ting.
H nuqtadan (diagonallar kesishmasi) AA tekisligida 1 C 1 C ABCD asosiga perpendikulyar. U holda biz BB 1 D 1 D tekislikda ham xuddi shunday qilamiz. Teoremadan: agar ikkita perpendikulyar tekislikning biriga tegishli nuqtadan ikkinchi tekislikka perpendikulyar o'tkazsak, bu perpendikulyar to'liq birinchi tekislikda yotadi, biz toping, bu perpendikulyar yotishi kerak va tekislikda AA 1 C 1 C va tekislikda BB 1 D 1 D. Bu perpendikulyar bu tekisliklarning kesishish chizig'iga to'g'ri kelsagina mumkin - EMAS. Bular. segment chizilgan aylananing markazi yotadigan to'g'ri chiziq EMAS (chunki u lateral yuzlar tekisliklaridan teng masofada EMAS va bu o'z navbatida E va H nuqtalarining mos keladigan asoslar cho'qqilaridan teng masofasidan kelib chiqadi. (Tasdiqlangan narsalarga ko'ra: diagonallarning kesishish nuqtasi kvadratning yon tomonlaridan teng masofada joylashgan) va EMAS asoslarga perpendikulyar bo'lganligi sababli, biz EMAS to'pning diametri deb xulosa qilishimiz mumkin To'pni oddiy prizmaga yozish mumkin, agar uning balandligi poydevorga yozilgan doiraning diametriga teng bo'lsa, u bizning prizmamizga yozilgan bo'lsa, u holda uning balandligi diametrga teng bo'ladi asosga yozilgan doiraning, agar asosning tomonini deb belgilasak. A, va prizmaning balandligi h bo'lsa, bu teoremadan foydalanib, biz xulosa qilamiz A=h va keyin prizmaning hajmi quyidagicha topiladi: 
Keyinchalik, balandlik chizilgan to'pning diametriga va prizma poydevorining yon tomoniga teng ekanligidan foydalanib, biz to'pning radiusini va keyin uning hajmini topamiz: 
Aytish kerakki, yon qirralarning balandlikka teng (parallel tekisliklar orasiga o'ralgan parallel chiziqlarning segmentlari teng) va balandlik poydevorning yon tomoniga teng bo'lganligi sababli, umuman olganda prizmaning barcha qirralari tengdir. bir-biriga va barcha yuzlar asosan maydoni bo'lgan kvadratlardir A 2. Aslida, bunday raqam kub deb ataladi - parallelepipedning maxsus holati. Kubning umumiy yuzasini topish va uni to'pning hajmiga bog'lash qoladi: 
2. Asosiy tomoni 
Vazifalar
1. Poydevorida diagonallari 3 va 4 ga, lateral qirrasi 5 ga teng bo‘lgan romb joylashgan to‘g‘ri prizmaning sirt maydonini toping.
Javob: 62.
2. To'g'ri prizmaning negizida diagonallari 6 va 8 ga teng bo'lgan romb yotadi.Uning sirtining maydoni 248. Shu prizmaning yon chetini toping.
Javob: 10.
3. Muntazam to‘rtburchak prizmaning yon chetini toping, agar asosining tomonlari 3, sirti esa 66 bo‘lsa.
Javob: 4.
4. Baza radiusi va balandligi 2 ga teng bo‘lgan silindr atrofida muntazam to‘rtburchak prizma chizilgan. Prizmaning yon sirtini toping.
Javob: 32.
5. Tayanch radiusi 2 bo‘lgan silindr atrofida muntazam to‘rtburchak prizma chizilgan. Prizmaning lateral yuzasi 48 ga teng. Silindr balandligini toping.
To'g'ri prizma (olti burchakli muntazam)
Yon qirralari asoslarga perpendikulyar, asoslari esa teng kvadratlar bo'lgan prizma.
1. Yon yuzlar - teng to'rtburchaklar
2. Asosiy tomoni 
Vazifalar
1. Asos tomonlari 1 ga, yon qirralari esa ga teng bo’lgan muntazam olti burchakli prizmaning hajmini toping.
Javob: 4.5.
2. Asos tomonlari 3 va balandligi 6 ga teng bo‘lgan muntazam olti burchakli prizmaning yon sirtini toping.
Javob: 108.
3. Barcha qirralari √3 ga teng bo’lgan muntazam olti burchakli prizmaning hajmini toping.
Javob: 13.5
4. ABCDEFA1B1C1D1E1F1 muntazam olti burchakli prizmaning cho‘qqilari A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 nuqtalari bo‘lgan ko‘pburchak hajmini toping, uning asos maydoni 6, lateral qirrasi esa 2 ga teng. .
To'g'ri prizma (ixtiyoriy n-ko'mir)
Yon qirralari asoslarga perpendikulyar, asoslari esa teng n-gonli prizma.
1. Agar asosi muntazam ko'pburchak bo'lsa, u holda yon yuzlari teng to'rtburchaklardir.
2. Asosiy tomoni 
.
Piramida
Piramida n burchakli A1A2...AnA1 va n ta uchburchakdan (A1A2P, A1A3P va boshqalar) tashkil topgan ko‘pburchakdir.
1. Piramida asosiga parallel kesma asosga o'xshash ko'pburchakdir. Kesma maydonlari va asoslari piramida tepasiga bo'lgan masofalarining kvadratlari sifatida bog'langan.
2. Piramida regulyar deyiladi, agar uning asosi muntazam ko'pburchak bo'lsa va uning cho'qqisi asos markaziga proyeksiyalangan bo'lsa.
3. Muntazam piramidaning barcha yon qirralari teng, yon tomonlari esa teng yon tomonli uchburchaklardir.
4. Muntazam piramidaning yon yuzining balandligi apotema deyiladi.
5. Muntazam piramidaning lateral yuzasining maydoni asos va apotem perimetri ko'paytmasining yarmiga teng.
Vazifalar
1. Muntazam tetraedrning barcha qirralari ikki barobar oshirilsa, uning hajmi necha marta ortadi?
Javob: 8.
2. Muntazam olti burchakli piramida asosining tomonlari 10 ga, yon qirralari 13 ga teng. Piramidaning lateral yuzasi maydonini toping.
Javob: 360.
5. Rasmda ko'rsatilgan piramida hajmini toping. Uning asosi ko'pburchak bo'lib, uning qo'shni tomonlari perpendikulyar, yon qirralarning biri esa asos tekisligiga perpendikulyar va 3 ga teng.
Javob: 27.
6. Asos tomonlari 1 ga, balandligi esa ga teng bo’lgan muntazam uchburchak piramidaning hajmini toping.
Javob: 0,25.
7. Uchburchak piramidaning yon qirralari o'zaro perpendikulyar bo'lib, ularning har biri 3 ga teng. Piramidaning hajmini toping.
Javob: 4.5.
8. Muntazam to‘rtburchakli piramida asosining diagonali 8. Yon cheti 5. Piramidaning hajmini toping.
Javob: 32.
9. Muntazam to‘rtburchakli piramidada balandligi 12, hajmi esa 200. Piramidaning yon chetini toping.
Javob: 13.
10. Muntazam to‘rtburchakli piramida asosining tomonlari 6 ga, yon qirralari 5 ga teng. Piramidaning sirtini toping.
Javob: 84.
11. Muntazam olti burchakli piramidaning hajmi 6. Asosning tomoni 1. Yon chetini toping.
12. Muntazam tetraedrning barcha qirralari ikki baravar ko'paytirilsa, uning sirt maydoni necha marta oshadi?
Javob: 4.
13. Muntazam to‘rtburchakli piramidaning hajmi 12. Asosning diagonali va qarama-qarshi yon chetining o‘rtasidan o‘tuvchi tekislik bilan undan kesilgan piramidaning hajmini toping.
Javob: 3.
14. Oktaedrning barcha qirralari ikki baravar qisqartirilsa, uning hajmi necha marta kamayadi?
Javob: 8.
15. Uchburchakli piramidaning hajmi 15. Tekislik bu piramida poydevorining yon tomonidan o'tadi va qarama-qarshi yon chetini piramidaning tepasidan sanab, uni 1: 2 nisbatda bo'ladigan nuqtada kesib o'tadi. Tekislik asl piramidani ajratadigan piramidalarning eng katta hajmini toping.
Javob: 10.
16. Asos tomonlari 2 ga, hajmi esa ga teng bo’lgan muntazam uchburchak piramidaning balandligini toping.
Javob: 3.
17. Muntazam to‘rtburchakli piramidada balandligi 6, yon cheti 10. Uning hajmini toping.
Javob: 256.
18. Hajmi 12 ga teng bo'lgan uchburchak piramidadan piramida tepasi va poydevorining o'rta chizig'idan o'tuvchi tekislik bilan uchburchak piramida kesiladi. Kesilgan uchburchak piramidaning hajmini toping.
Javob: 3.
Silindr
Silindr silindrsimon sirt va chegaralari bo'lgan ikkita doira bilan chegaralangan tanadir.
| H |
| R |
| Tana hajmi | Yon sirt maydoni | Baza maydoni | Umumiy sirt maydoni |
 |  |  |  |
 |  |  |
1. Tsilindrning generatorlari - tayanchlar orasiga o'ralgan generatrixlarning segmentlari.
2. Silindrning balandligi generatrixning uzunligi.
3. Eksenel qism to'rtburchak bo'lib, uning ikki tomoni generatrislar, qolgan ikkitasi esa silindr asoslarining diametrlari.
4. Doira kesim - kesish tekisligi silindr o'qiga perpendikulyar bo'lgan kesma.
5. Silindrning yon yuzasini ishlab chiqish - generatrix bo'ylab silindrning yon yuzasini kesishning ikki chetini ifodalovchi to'rtburchak.
6. Silindrning lateral yuzasining maydoni uning rivojlanish maydonidir.
7. Silindrning umumiy sirt maydoni lateral sirt va ikkita asosning maydonlarining yig'indisi deb ataladi.
8. Siz har doim silindr atrofidagi sharni tasvirlashingiz mumkin. Uning markazi balandlikning o'rtasida joylashgan. 
, bu erda R - sharning radiusi, r - silindr asosining radiusi, H - silindrning balandligi.
9. Agar silindr asosining diametri uning balandligiga teng bo'lsa, siz to'pni silindrga o'rnatishingiz mumkin, 
.
Vazifalar
1. Bir qismi 6 litr suv bo'lgan silindrsimon idishga tushiriladi. Shu bilan birga, idishdagi suyuqlik darajasi 1,5 barobar ko'tarildi. Qismning hajmi qancha?
Javob: 3.
2. Asos maydoni 1, generatrixsi 6 va asos tekisligiga 30° burchak ostida qiya bo‘lgan silindrning hajmini toping.
Javob: 3.
3. Silindr va konusning umumiy asosi va balandligi bor. Konusning hajmi 50 ga teng bo'lsa, silindrning hajmini toping.
Javob: 150.
4. Silindrsimon idishda 12 sm balandlikda joylashgan suv diametri ikki barobar kattaroq silindrsimon idishga quyildi. Ikkinchi idishdagi suv sathi qanday balandlikda bo'ladi?
5. Silindrning eksenel kesma maydoni ga teng. Silindrning lateral sirt maydonini toping.
Javob: 2.
6. Muntazam to‘rtburchak prizma asosi radiusi va balandligi 2 ga teng bo‘lgan silindr atrofida o‘ralgan. Prizmaning lateral sirtini toping.
Javob: 32.
7. Silindr asosining aylanasi 3. Yon yuzaning maydoni 6. Silindrning balandligini toping.
8. Bir silindrsimon krujka ikkinchisidan ikki baravar baland, ikkinchisi esa bir yarim barobar kengroq. Ikkinchi krujka hajmining birinchisining hajmiga nisbatini toping.
Javob: 1.125.
9. Silindrsimon idishda suyuqlik sathi 18 sm ga etadi, agar u diametri birinchisidan 3 marta katta bo'lgan ikkinchi idishga quyilsa, suyuqlik darajasi qanday balandlikda bo'ladi?
Javob: 2.
Konus
Konus - konussimon sirt va doira bilan chegaralangan jism.
  |
| konusning o'qi |
| R |
| cho'qqi |
| shakllantirish |
| yon yuzasi |
| r |
| Tana hajmi | Yon sirt maydoni | Baza maydoni | Umumiy sirt maydoni |
 |  | |  |
 |  |
1. Konusning lateral yuzasining maydoni uning rivojlanish maydonidir.
2. Supurish burchagi va eksenel kesimning tepa burchagi o'rtasidagi bog'liqlik 
.
1. Silindr va konusning asosi va balandligi umumiydir. Konusning hajmi 50 ga teng bo'lsa, silindrning hajmini toping.
Javob: 150.
2. Asos maydoni 2, avlodi 6 va asos tekisligiga 30° burchak ostida qiya bo‘lgan konusning hajmini toping.
Javob: 2.
3. Konusning hajmi 12. Konusning poydevoriga parallel ravishda balandlikni ikkiga bo'lgan kesma chizilgan. Kesilgan konusning hajmini toping.
Javob: 1.5.
4. Muntazam to‘rtburchakli piramida atrofida aylana chizilgan konusning hajmi shu piramidaga chizilgan konusning hajmidan necha marta katta?
Javob: 2.
5. Konusning balandligi 6, generatrix 10 ga bo'lingan hajmini toping.
Javob: 128.
6. Silindr va konusning umumiy asosi va balandligi bor. Silindrning hajmi 48 bo'lsa, konusning hajmini toping.
Javob: 16.
7. Konusning asosining diametri 6 ga, eksenel kesimning cho'qqisidagi burchak esa 90 ° ga teng. Konusning hajmini ga bo'lingan holda hisoblang.
8. Asosiy tomoni 4 va balandligi 6 ga teng bo'lgan muntazam to'rtburchak piramida atrofida konus tasvirlangan. Uning hajmini ga bo'lingan holda toping.
9. Teng yonli to‘g‘ri burchakli uchburchakni 6 ga teng oyoq atrofida aylantirish orqali konus olinadi. Uning hajmini ga bo‘lingan holda toping.
Sfera va to'p
Sfera - ma'lum bir nuqtadan ma'lum masofada joylashgan fazodagi barcha nuqtalardan tashkil topgan sirt. To'p - shar bilan chegaralangan jism.
1. Sfera markazidan tekislikgacha bo'lgan masofa shar radiusidan kichik bo'lsa, sharning tekislik bilan kesmasi aylana hisoblanadi.
2. Koptokning tekislik bilan kesmasi aylanadir.
3. Sferaga teguvchi tekislik - bu shar bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan tekislik.
4. Sfera va tekislikning aloqa nuqtasiga chizilgan sharning radiusi teginish tekisligiga perpendikulyar.
5. Agar sharning radiusi sharda yotgan uning uchidan o'tuvchi tekislikka perpendikulyar bo'lsa, bu tekislik sharga teginishdir.
6. Agar shar uning barcha yuzlariga tegib tursa, ko‘pburchak shar atrofida o‘ralgan deyiladi.
7. Bir nuqtadan chizilgan sharga teguvchi segmentlar teng bo'lib, shu nuqtadan va sharning markazidan o'tadigan to'g'ri chiziq bilan teng burchaklar hosil qiladi.
8. Sfera uning barcha generatorlariga tegsa, silindrsimon sirtga chizilgan.
9. Sfera uning barcha generatorlariga tegsa, konussimon sirtga chizilgan.
Vazifalar
1. Ikki sharning radiusi 6 va 8. Yuzasi yuzalarining yig‘indisiga teng bo‘lgan sharning radiusini toping.
Javob: 10.
2. To‘pning katta aylanasining maydoni 1. To‘pning sirt maydonini toping.
3. Agar to'pning radiusi ikki baravar oshirilsa, uning sirt maydoni necha marta oshadi?
4. Uchta sharning radiusi 3, 4 va 5. Hajmi ularning hajmlari yig‘indisiga teng bo‘lgan sharning radiusini toping.
Javob: 6.
5. To‘g‘ri burchakli parallelepiped radiusi 2 bo‘lgan shar atrofida tasvirlangan. Uning sirt maydonini toping.
Javob: 96.
6. Kub radiusli sharga yozilgan. Kubning sirt maydonini toping.
Javob: 24.
7. To'g'ri to'rtburchak parallelepiped radiusi 2 bo'lgan shar atrofida tasvirlangan. Uning hajmini toping.
8. Sfera atrofida aylana chizilgan to‘g‘ri burchakli parallelepipedning hajmi 216. Sharning radiusini toping.
Javob: 3.
9. Sfera atrofida aylanib o‘tilgan to‘g‘ri burchakli parallelepipedning sirt maydoni 96 ga teng. Sharning radiusini toping.
Javob: 2.
10. Koptok atrofida silindr tasvirlangan, uning lateral yuzasi 9 ga teng. Koptokning sirt maydonini toping.
Javob: 9.
11. Bir kub atrofida chegaralangan sharning sirt maydoni bir kub ichiga chizilgan sharning sirt maydonidan necha marta katta?
Javob: 3.
12. Kub radiusli sharga yozilgan. Kubning hajmini toping.
Javob: 8.
Kompozit ko'p yuzli
Vazifalar
1. Rasmda ko'pburchak ko'rsatilgan. A va C2 uchlari orasidagi masofani toping.
Javob: 3.
2. Rasmda ko'rsatilgan ko'pburchakning CAD2 burchagini toping. Ko'pburchakning barcha ikki burchakli burchaklari to'g'ri burchaklardir. Javobingizni darajalarda bering.
Javob: 60.
3. Rasmda ko'rsatilgan ko'pburchakning sirt maydonini toping (barcha ikki burchakli burchaklar to'g'ri burchakdir).
Javob: 18.
4. Rasmda ko'rsatilgan ko'pburchakning sirt maydonini toping (barcha ikki burchakli burchaklar to'g'ri burchakdir).
Javob: 132
5. Rasmda ko'rsatilgan va birlik kublardan tashkil topgan fazoviy xochning sirt maydonini toping.
Javob: 30
6. Rasmda ko'rsatilgan ko'pburchakning hajmini toping (barcha ikki burchakli burchaklar to'g'ri).
Javob: 8
7.Rasmda ko'rsatilgan ko'pburchakning hajmini toping (barcha ikki burchakli burchaklar to'g'ri).
Javob: 78
8. Rasmda ko'pburchak ko'rsatilgan. ABB3 burchak tangensini toping.
Javob: 2
10. Rasmda ko'pburchakning barcha ikkiburchak burchaklari to'g'ri burchakli; C3D3B3 burchak tangensini toping.
Javob: 3
11. Uchburchak prizma asosining o‘rta chizig‘i orqali yon chetiga parallel tekislik o‘tkaziladi. Kesilgan uchburchak prizmaning lateral yuzasi 37 ga teng bo'lsa, prizmaning lateral sirt maydonini toping.
Javob: 74.
12. Rasmda ko'pburchakning barcha ikkiburchak burchaklari to'g'ri burchakli; B2 va D3 uchlari orasidagi masofaning kvadratini toping.
Javob: 11.
11-sinf geometriya kursida “Ko‘p yuzli, silindr, konus va shar bo‘yicha turli masalalar” mavzusi eng qiyin mavzulardan biridir. Geometrik masalalarni yechishdan oldin ular odatda nazariyaning masalalar yechishda havola qilingan tegishli bo‘limlarini o‘rganadilar. S.Atanasyan va boshqalarning ushbu mavzuga bagʻishlangan darsligida (138-bet) faqat shar atrofida tasvirlangan koʻpburchak, shar ichiga chizilgan koʻpburchak, koʻpburchak ichiga chizilgan shar va sharning atrofida tasvirlangan sharning taʼriflarini topish mumkin. ko'pburchak. Ushbu darslik uchun uslubiy tavsiyalarda (S.M.Saakyan va V.F. Butuzovning “10–11-sinflarda geometriyani o‘rganish” kitobi, 159-betga qarang) 629–646-sonli masalalarni yechishda jismlarning qanday birikmalari ko‘rib chiqilishi aytiladi va e’tibor qaratiladi. "Muayyan masalani hal qilishda, birinchi navbatda, o'quvchilar shartda ko'rsatilgan jismlarning o'zaro joylashishini yaxshi tushunishlarini ta'minlash kerak". Quyida 638(a) va 640-sonli masalalar yechimi keltirilgan.
Yuqorida aytilganlarning barchasini hisobga olib, o‘quvchilar uchun eng qiyin masalalar koptokni boshqa jismlar bilan qo‘shish masalalari ekanligini hisobga olsak, tegishli nazariy tamoyillarni tizimlashtirish va ularni talabalarga yetkazish zarur.
Ta'riflar.
1. To'p ko'pburchakda yozilgan deb ataladi va to'pning yuzasi ko'pburchakning barcha yuzlariga tegsa, to'p atrofida tasvirlangan ko'pburchak.
2. Agar sharning yuzasi ko'pburchakning barcha cho'qqilaridan o'tadigan bo'lsa, to'p ko'pburchak atrofida chegaralangan, to'p ichiga yozilgan ko'pburchak deyiladi.
3. To'p silindrga, kesik konusga (konusga) yozilgan, silindrli, kesik konus (konus) esa sharning yuzasi asoslarga (asosga) tegsa va hamma narsaga tegsa, to'p atrofida chegaralangan deyiladi. silindrning generatrislari, kesilgan konus (konus).
(Ushbu ta'rifdan kelib chiqadiki, to'pning katta doirasi ushbu jismlarning har qanday eksenel qismiga yozilishi mumkin).
4. Agar asoslar doiralari (asosiy doira va cho'qqi) to'p yuzasiga tegishli bo'lsa, to'p silindr, kesilgan konus (konus) atrofida chegaralangan deyiladi.
(Ushbu ta'rifdan kelib chiqadiki, ushbu jismlarning har qanday eksenel qismi atrofida to'pning kattaroq doirasi tasvirlanishi mumkin).
To'pning markazining holati haqida umumiy eslatmalar.
1. Ko‘pburchak ichiga chizilgan sharning markazi ko‘pburchakning barcha ikkiburchak burchaklarining bissektrisa tekisliklarining kesishish nuqtasida yotadi. U faqat ko'pburchak ichida joylashgan.
2. Ko‘pburchak atrofida o‘ralgan sharning markazi ko‘pburchakning barcha qirralariga perpendikulyar bo‘lgan va ularning o‘rta nuqtalaridan o‘tuvchi tekisliklarning kesishish nuqtasida yotadi. U poliedrning ichida, yuzasida yoki tashqarisida joylashgan bo'lishi mumkin.
Sfera va prizma birikmasi.
1. To'g'ri prizma ichiga chizilgan shar.
Teorema 1. Sferani to'g'ri prizma ichiga kiritish mumkin, agar prizma asosiga aylana chizilgan bo'lsa va prizma balandligi shu doira diametriga teng bo'lsa.
Xulosa 1. To'g'ri prizma ichiga chizilgan sharning markazi poydevorga chizilgan doira markazidan o'tadigan prizma balandligining o'rta nuqtasida yotadi.
Xulosa 2. To'pni, xususan, to'g'ri chiziqlar bilan yozish mumkin: uchburchak, muntazam, to'rtburchak (bunda asosning qarama-qarshi tomonlari yig'indisi bir-biriga teng) H = 2r sharti bilan, bu erda H - balandlikning balandligi. prizma, r - asosga chizilgan aylananing radiusi.
2. Prizma atrofida chegaralangan shar.
Teorema 2. Sharni prizma atrofida tasvirlash mumkin, agar prizma to'g'ri bo'lsa va uning asosi atrofida aylana tasvirlangan bo'lsa.
Xulosa 1. To'g'ri prizma bo'ylab o'ralgan sharning markazi poydevor atrofidan o'ralgan doira markazidan o'tkazilgan prizma balandligining o'rta nuqtasida yotadi.
Xulosa 2. To'pni, xususan, tasvirlash mumkin: to'g'ri uchburchak prizma yaqinida, muntazam prizma yonida, to'rtburchak parallelepiped yaqinida, to'g'ri to'rtburchak prizma yaqinida, bunda asosning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi 180 gradusga teng.
L.S.Atanasyanning darsligidan shar va prizma birikmasi uchun 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) masalalarni taklif qilish mumkin.
To'pning piramida bilan kombinatsiyasi.
1. Piramida yaqinida tasvirlangan to'p.
Teorema 3. To'pni piramida atrofida tasvirlash mumkin, agar uning poydevori atrofida aylana tasvirlangan bo'lsa.
Xulosa 1. Piramida atrofida aylanib o‘tilgan sharning markazi shu asos atrofidan aylanib o‘tilgan aylananing markazidan o‘tuvchi va piramida asosiga perpendikulyar bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning o‘rtasidan o‘tkazilgan istalgan yon chetiga perpendikulyar tekislikning kesishish nuqtasida yotadi. bu chekka.
Xulosa 2. Agar piramidaning yon qirralari bir-biriga teng bo'lsa (yoki poydevor tekisligiga teng bo'lsa), unda to'pni bunday piramida atrofida tasvirlash mumkin, bu holda bu to'pning markazi kesishish nuqtasida yotadi tekislikda yotgan yon chetining simmetriya o'qi bilan piramidaning balandligi (yoki uning kengaytmasi) lateral qirrasi va balandligi.
Xulosa 3. To'pni, xususan, tasvirlash mumkin: uchburchak piramida yonida, oddiy piramida yonida, qarama-qarshi burchaklar yig'indisi 180 daraja bo'lgan to'rtburchak piramida yonida.
2. Piramida ichiga yozilgan shar.
Teorema 4. Agar piramidaning yon tomonlari poydevorga teng darajada moyil bo'lsa, unda bunday piramidaga to'pni yozish mumkin.
Xulosa 1. Yon yuzlari asosga teng qiyshaygan piramida ichiga chizilgan sharning markazi piramida balandligining piramida poydevoridagi har qanday ikki burchakli burchakning chiziqli burchagi bissektrisasi bilan kesishgan nuqtasida, yon tomonida joylashgan. undan piramidaning tepasidan chizilgan yon yuzining balandligi.
Xulosa 2. Siz to'pni oddiy piramidaga joylashtirishingiz mumkin.
L.S.Atanasyanning darsligidan sharni piramida bilan birlashtirish uchun 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 masalalarni taklif qilish mumkin.
Kesilgan piramida bilan to'pning kombinatsiyasi.
1. Muntazam kesilgan piramida atrofida chegaralangan shar.
Teorema 5. Sharni har qanday muntazam kesilgan piramida atrofida tasvirlash mumkin. (Bu shart yetarli, lekin shart emas)
2. Muntazam kesilgan piramidaga yozilgan shar.
Teorema 6. To'pni oddiy kesilgan piramidaga yozish mumkin, agar piramidaning apothemi asoslar apothemlari yig'indisiga teng bo'lsa.
L.S.Atanasyanning darsligida (636-son) kesilgan piramida bilan to'pni birlashtirish uchun faqat bitta muammo bor.
Dumaloq jismlar bilan to'pning kombinatsiyasi.
Teorema 7. Sharni silindr, kesilgan konus (to'g'ri dumaloq) yoki konusning atrofida tasvirlash mumkin.
Teorema 8. To'pni (to'g'ri dumaloq) silindrga yozish mumkin, agar silindr teng tomonli bo'lsa.
Teorema 9. To'pni har qanday konusga (to'g'ri dumaloq) joylashtirishingiz mumkin.
Teorema 10. To'pni kesilgan konusga (to'g'ri dumaloq) yozish mumkin, agar uning generatori asoslar radiuslari yig'indisiga teng bo'lsa.
L.S.Atanasyanning darsligidan dumaloq jismlar bilan to'pni birlashtirish uchun 642, 643, 644, 645, 646-sonli masalalarni taklif qilish mumkin.
Ushbu mavzu bo'yicha materialni yanada muvaffaqiyatli o'rganish uchun darslarga og'zaki topshiriqlarni kiritish kerak:
1. Kubning cheti a ga teng. To'plarning radiuslarini toping: kub ichiga yozilgan va uning atrofida chegaralangan. (r = a/2, R = a3).
2. Atrofdagi sharni (to'pni) tasvirlash mumkinmi: a) kub; b) to‘g‘ri burchakli parallelepiped; v) poydevorida to'rtburchak bo'lgan qiya parallelepiped; d) to'g'ri parallelepiped; e) qiya parallelepiped? (a) ha; b) ha; c) yo'q; d) yo'q; d) yo'q)
3. Har qanday uchburchakli piramida atrofida sharni tasvirlash mumkinligi rostmi? (Ha)
4. Har qanday to'rtburchak piramida atrofida sharni tasvirlash mumkinmi? (Yo'q, hech qanday to'rtburchak piramidaga yaqin emas)
5. Piramida atrofidagi sharni tasvirlash uchun qanday xossalarga ega bo‘lishi kerak? (Uning tagida ko'pburchak bo'lishi kerak, uning atrofida aylana tasvirlanishi mumkin)
6. Piramida sferaga chizilgan, uning yon cheti asosga perpendikulyar. Sfera markazini qanday topish mumkin? (Sharning markazi fazodagi ikkita geometrik nuqtalarning kesishish nuqtasidir. Birinchisi, piramida asosi tekisligiga, uning atrofida aylana markazi orqali o'tkazilgan perpendikulyar. Ikkinchisi - tekislik. berilgan yon chetiga perpendikulyar va uning o'rtasidan chizilgan)
7. Asosida trapetsiya joylashgan prizma atrofidagi sharni qanday sharoitda tasvirlay olasiz? (Birinchidan, prizma to'g'ri bo'lishi kerak, ikkinchidan, trapezoid teng yonli bo'lishi kerak, shunda uning atrofida aylana tasvirlanishi mumkin)
8. Prizma atrofida shar tasvirlanishi uchun qanday shartlarni qondirishi kerak? (Prizma to'g'ri bo'lishi kerak va uning asosi ko'pburchak bo'lishi kerak, uning atrofida aylana tasvirlanishi mumkin)
9. Uchburchak prizma atrofida shar tasvirlangan, uning markazi prizmadan tashqarida joylashgan. Prizmaning asosi qaysi uchburchak hisoblanadi? (Toʻq uchburchak)
10. Qiya prizma atrofidagi sharni tasvirlash mumkinmi? (Mumkin emas)
11. To‘g‘ri burchakli uchburchak prizma atrofida aylanib o‘yilgan sharning markazi qanday sharoitda prizmaning yon yuzlaridan birida joylashgan bo‘ladi? (Asosi to'g'ri burchakli uchburchak)
12. Piramidaning asosi teng yonli trapesiya Piramida tepasining asos tekisligiga ortogonal proyeksiyasi trapetsiyadan tashqarida joylashgan nuqtadir. Bunday trapezoid atrofida sharni tasvirlash mumkinmi? (Ha, mumkin. Piramida tepasining ortogonal proyeksiyasi uning poydevoridan tashqarida joylashganligi muhim emas. Muhimi shundaki, piramidaning negizida teng yonli trapesiya yotadi - uning atrofida aylana boʻlishi mumkin boʻlgan koʻpburchak. tasvirlangan)
13. Muntazam piramida yonida shar tasvirlangan. Uning markazi piramida elementlariga nisbatan qanday joylashgan? (Sharning markazi uning markazi orqali asos tekisligiga chizilgan perpendikulyarda)
14. To'g'ri burchakli uchburchak prizma atrofida tasvirlangan sharning markazi qanday sharoitda yotadi: a) prizma ichida; b) prizmadan tashqarida? (Prizma poydevorida: a) o'tkir uchburchak; b) to'liq uchburchak)
15. Kenarlari 1 dm, 2 dm va 2 dm bo'lgan to'g'ri burchakli parallelepiped atrofida shar tasvirlangan. Sfera radiusini hisoblang. (1,5 dm)
16. Shar qanday kesilgan konusga sig'ishi mumkin? (Kesik konusda, uning eksenel qismiga aylana chizilishi mumkin. Konusning eksenel kesimi teng yonli trapesiya bo'lib, uning asoslari yig'indisi uning lateral tomonlari yig'indisiga teng bo'lishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, konusning asoslari radiuslari yig'indisi generatorga teng bo'lishi kerak)
17. Kesilgan konus ichiga shar chizilgan. Sfera markazidan konusning generatriksi qaysi burchakda ko'rinadi? (90 daraja)
18. To'g'ri prizma ichiga shar chizilgan bo'lishi uchun qanday xususiyatga ega bo'lishi kerak? (Birinchidan, to'g'ri prizmaning negizida aylana chizilishi mumkin bo'lgan ko'pburchak bo'lishi kerak, ikkinchidan, prizma balandligi poydevorga chizilgan doira diametriga teng bo'lishi kerak)
19. Sharga sig'maydigan piramidaga misol keltiring? (Masalan, poydevorida to'rtburchak yoki parallelogramm bo'lgan to'rtburchak piramida)
20. To'g'ri prizmaning negizida romb joylashgan. Bu prizmaga sharni sig'dirish mumkinmi? (Yo'q, bu mumkin emas, chunki umuman olganda, romb atrofida aylana tasvirlab bo'lmaydi)
21. Sharni qanday sharoitda to‘g‘ri burchakli uchburchak prizmaga kiritish mumkin? (Agar prizma balandligi poydevorga chizilgan aylananing radiusidan ikki baravar katta bo'lsa)
22. Qanday shartda sharni muntazam to'rtburchakli kesilgan piramidaga kiritish mumkin? (Agar ma'lum bir piramidaning ko'ndalang kesimi poydevorning unga perpendikulyar bo'lgan tomonining o'rtasidan o'tadigan tekislik bo'lsa, u aylana chizilgan bo'lishi mumkin bo'lgan teng yonli trapezoiddir)
23. Uchburchak kesilgan piramida ichiga shar chizilgan. Piramidaning qaysi nuqtasi sharning markazi hisoblanadi? (Ushbu piramidaga chizilgan sharning markazi piramidaning lateral yuzlari asos bilan hosil qilgan uchta bisektral burchak tekisliklarining kesishmasida joylashgan)
24. Tsilindr atrofidagi sharni tasvirlash mumkinmi (o'ng dumaloq)? (Ha mumkin)
25. Konus atrofidagi sharni, kesilgan konusni (to'g'ri dumaloq) tasvirlash mumkinmi? (Ha, ikkala holatda ham mumkin)
26. Har qanday silindrga sharni kiritish mumkinmi? Sfera ichiga sharni sig'dirish uchun silindr qanday xususiyatlarga ega bo'lishi kerak? (Yo'q, har safar emas: silindrning eksenel qismi kvadrat bo'lishi kerak)
27. Sharni har qanday konus ichiga chizib olish mumkinmi? Konus ichiga chizilgan shar markazining o'rnini qanday aniqlash mumkin? (Ha, mutlaqo. Ichkari chizilgan sharning markazi konusning balandligi va generatrixning asos tekisligiga moyillik burchagi bissektrisasining kesishgan joyida)
Muallifning fikricha, "Ko'p yuzli, silindrli, konus va shar bo'yicha turli xil masalalar" mavzusidagi uchta rejalashtirish darsidan ikkita darsni to'pni boshqa jismlar bilan birlashtirish masalalarini echishga bag'ishlash maqsadga muvofiqdir. Darsda yetarlicha vaqt bo‘lmaganligi sababli yuqorida keltirilgan teoremalarni isbotlash tavsiya etilmaydi. Buning uchun etarli ko'nikmalarga ega bo'lgan talabalarni isbotlash kursini yoki rejasini (o'qituvchining ixtiyoriga ko'ra) ko'rsatish orqali isbotlash uchun taklif qilishingiz mumkin.
To'pni piramida atrofida tasvirlash mumkin, agar uning poydevori atrofida aylana tasvirlangan bo'lsa.
Ushbu to'pning O markazini qurish uchun sizga kerak bo'ladi:
1. Asos bilan chegaralangan doiraning O markazini toping.
2. O nuqta orqali asos tekisligiga perpendikulyar to'g'ri chiziq o'tkazing.
3. Piramidaning shu chetiga perpendikulyar bo‘lgan istalgan lateral chetining o‘rtasidan tekislik o‘tkazing.
4. Tuzilgan chiziq va tekislikning kesishuvi O nuqtasini toping.
Maxsus holat: piramidaning lateral qirralari teng. Keyin:
to'pni tasvirlash mumkin;
sharning markazi O piramida balandligida yotadi;
Cheklangan sharning radiusi qayerda; - yon qovurg'a; H - piramidaning balandligi.
5.2. Shar va prizma
Sharni prizma atrofida tasvirlash mumkin, agar prizma to'g'ri bo'lsa va uning asosi atrofida aylana tasvirlangan bo'lsa.
To'pning markazi - tagliklar yaqinida tasvirlangan doiralarning markazlarini bog'laydigan segmentning o'rtasi.
chegaralangan sharning radiusi qayerda; - poydevor yaqinida tasvirlangan doira radiusi; H - prizma balandligi.
5.3. To'p va silindr
To'pni har doim silindr atrofida tasvirlash mumkin. To'pning markazi silindrning eksenel kesimining simmetriya markazidir.
5.4. To'p va konus
To'pni har doim konusning atrofida tasvirlash mumkin. To'pning markazi; konusning eksenel kesimi atrofida aylana markazi bo'lib xizmat qiladi.
Taqdimotni oldindan ko‘rishdan foydalanish uchun Google hisobini yarating va unga kiring: https://accounts.google.com
Slayd sarlavhalari:
Ko'pburchaklar atrofida tasvirlangan sharlar.
Ta'rif. Agar ko'pburchakning barcha uchlari shu sferaga tegishli bo'lsa, ko'pburchak sharga (va ko'pburchak haqida tasvirlangan sharga) chizilgan deyiladi. Natija. Cheklangan sharning markazi ko'pburchakning barcha uchlaridan teng masofada joylashgan nuqtadir. O O O . . .
Teorema 1. Berilgan ikkita nuqtadan teng masofada joylashgan nuqtalar to‘plami - uchlari berilgan nuqtalarda bo‘lgan segmentga perpendikulyar tekislik, uning o‘rtasidan o‘tuvchi (bu kesmaga perpendikulyar bissektrisalar tekisligi). AB ┴ a AO=OB a A B O
Teorema 2. Xuddi shu aylanada yotgan berilgan n ta nuqtadan teng masofada joylashgan nuqtalar to‘plami shu nuqtalar tekisligiga perpendikulyar bo‘lib, ular atrofida aylana markazidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqdir. C E A B D O a. . . . . . C E A B D. . . . .
Sferaga chizilgan prizma. OA=OB=…=OX=R sf. O 1. O. O sf a 1 a .A 1 .B 1 .C 1 .D 1 E 1 . X 1. .A .B .C .D E. X. a a 1 . O. O 1
Oqibatlari. 1)Sharni to'g'ri uchburchak prizma atrofida tasvirlash mumkin, chunki Siz har doim uchburchak atrofidagi doirani tasvirlashingiz mumkin. 2) Sharni har qanday muntazam prizma atrofida tasvirlash mumkin, chunki muntazam prizma to'g'ri va muntazam ko'pburchak atrofida aylana har doim tasvirlanishi mumkin. O. O. .
Vazifa № 1. Shar prizma atrofida o'ralgan bo'lib, uning poydevorida oyoqlari 6 va 8 bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak yotadi. Prizmaning yon cheti 24. To'pning radiusini toping. Berilgan: ∆ ABC – to‘rtburchak; AC=6, BC=8, AA 1 =24. Toping: Rw = ? Yechish: 1)OO 1 ┴AB 1 ; OO 1 =AA 1 =24. 2) ABC: AB=10. 3) O w OB: R w = O w B=√OO w 2 + OB 2 = = √144+25=13 Javob: 13. O 1 O. . . R w O sh C 1 B 1 A 1 A C B
Vazifa № 3. Kuboidning o'lchamlari 2,3 va 5. Cheklangan sharning radiusini toping. Berilgan:AB=a=2; BC=b=3; CC 1 =c=5. Toping: Rw = ? Yechish: 1) AC 2 =a 2 +b 2 +c 2. 2) A 1 C 2 =25+9+4=38 (To'g'ri burchakli parallelepiped diagonallarining xossasi) 3) A 1 C=√38; R w = O w C = √38 /2 Javob: √38 /2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 5 2 3 . . . O sh
Vazifa № 3. Muntazam uchburchak prizma asosining tomoni a ga, yon cheti esa 2 a ga teng. Cheklangan sharning radiusini toping. Berilgan: AB=BC=AC=a, AA 1 ┴ABC ; AA 1= 2a. Toping: Rw = ? Yechish: 1)AB=AO √3; AO=a/√3. 2)R w =√ a 2 + a 2 /3=2a/ √ 3 Javob: 2a/ √ 3 C 1 B A 1 C B 1 A O w R w. O O 1
Oqibatlari. 1) Siz har doim uchburchak piramidasi atrofidagi sharni tasvirlashingiz mumkin, chunki siz har doim uchburchak atrofida aylana tasvirlashingiz mumkin. 2) Siz har doim oddiy piramida atrofidagi sharni tasvirlashingiz mumkin. 3) Agar piramidaning lateral qirralari teng bo'lsa (poydevorga teng moyil bo'lsa), unda bunday piramida atrofida har doim shar tasvirlanishi mumkin. *Oxirgi ikki holatda sharning markazi piramida balandligini o'z ichiga olgan to'g'ri chiziqda yotadi. O. O.
Muammolar (piramida yaqinida tasvirlangan shar). PABC piramidasi atrofida shar tasvirlangan, uning asosi tomoni 4√3 bo'lgan ABC muntazam uchburchakdir. Yon qirrasi PA piramida asosi tekisligiga perpendikulyar va 6 ga teng. Sharning radiusini toping. Berilgan: AB=BC=AC=4 √3 ; PA ┴(ABC); PA=6. Toping: Rw = ? Yechish: 1) OO SF ┴(ABC); O – ∆ABC atrofida aylana markazi; K O SF ┴ PA; KP=AK (KO SF PA yon chetiga o'rta perpendikulyarlardan biri); O SF chegaralangan sharning markazidir. 2) OO SF ┴(ABC); OO SF (AKO) ga tegishli; PA ┴(ABC); AK (AKO) ga tegishli; KA|| degan ma'noni anglatadi OO SF; . O SF. O K. P. A. B. C
Muammolar (piramida yaqinida tasvirlangan shar). 3) KO c f ┴AP; KO c f (AOK) ga tegishli; AO┴AP; AO (AOK) ga tegishli; KO c f ||ni bildiradi AO; 4) (2) va (3) dan: AOO c f K- to'rtburchak, AK=PA/2=3; 5) AO=AB/ √3 =4; 6) ∆ AO O c f: AO c f = R w =5 Javob: 5
Muammolar (piramida yaqinida tasvirlangan shar). Muntazam to'rtburchak piramidada yon qirrasi asosga 45˚ burchak ostida egiladi. Piramidaning balandligi h. Cheklangan sharning radiusini toping. Berilgan: PABCD – muntazam piramida; (AP^(ABC))=45˚; PO=h. Toping: Rw = ? Yechish: 1) AO=OP=h; AP=h √ 2; 2) ∆PAP 1 - to'rtburchaklar; PP 1 - sharning diametri; PP 1 = 2 R w; AP 2 = PP 1 *OP; (h √ 2) 2 =2 R w *h; R w = 2s 2 /2s=h. Javob: h. C. B A. .D .P .P 1 . O
Vazifalar (piramida yaqinida tasvirlangan shar). O'z-o'zidan. Muntazam tetraedr atrofida chegaralangan sharning radiusi R ga teng. Tetraedrning umumiy sirt maydonini toping.
Muammolar (piramida yaqinida tasvirlangan shar). O'z-o'zidan. Berilgan: DABC – muntazam tetraedr; R - sharning radiusi. Toping: S to'liq tetra. =? Yechish: 1) Tetraedr muntazam bo'lganligi sababli, aylana bilan o'ralgan sharning markazi piramida balandligini o'z ichiga olgan to'g'ri chiziqqa tegishli; 2) S to'liq tetra. = a 2 √ 3/4*4= a 2 √ 3; 3) D, A, D 1 nuqtalari bir xil doiraga tegishli - sharning DAD 1 tekisligi bilan kesmasi, ya'ni DAD 1 burchagi DD 1 diametriga asoslangan chizilgan burchakdir; burchak DAD 1 =90 ˚; 4) AO – balandlik ∆ ADD 1 to‘g‘ri burchak cho‘qqisidan chizilgan. AD 2 = DO*DD 1; 5) AO=a/ √ 3; DO= √ a 2 -a 2 /3=a √ 2 / √ 3; a 2 = a √ 2 / √ 3*2R; a= √ 2 / √ 3*2R; a 2 = 8R 2/3; .D 1 .D .O .B .C A. a a
Muammolar (piramida yaqinida tasvirlangan shar). O'z-o'zidan. 6) S to'liq tet. = 8R 2 √ 3/3 Javob: 8R 2 √ 3/3