Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων, :

Εάν η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων είναι οξεία, τότε το βαθμωτό γινόμενο τους είναι θετικό. αν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι αμβλεία, τότε το βαθμωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων είναι αρνητικό. Το κλιμακωτό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι ίσο με μηδέν εάν και μόνο εάν αυτά τα διανύσματα είναι ορθογώνια.

Ασκηση.Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και

Λύση.Συνημίτονο της επιθυμητής γωνίας

16. Υπολογισμός της γωνίας μεταξύ ευθειών, ευθείας και επιπέδου

Γωνία μεταξύ ευθείας γραμμής και επιπέδου, που τέμνει αυτήν την ευθεία και όχι κάθετη σε αυτήν, είναι η γωνία μεταξύ της ευθείας και της προβολής της σε αυτό το επίπεδο.

Ο προσδιορισμός της γωνίας μεταξύ μιας γραμμής και ενός επιπέδου μας επιτρέπει να συμπεράνουμε ότι η γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδου είναι η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών: της ίδιας της ευθείας και της προβολής της στο επίπεδο. Επομένως, η γωνία μεταξύ μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου είναι μια οξεία γωνία.

Η γωνία μεταξύ μιας κάθετης ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου θεωρείται ίση με , και η γωνία μεταξύ μιας παράλληλης ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου είτε δεν προσδιορίζεται καθόλου είτε θεωρείται ίση με .

§ 69. Υπολογισμός της γωνίας μεταξύ ευθειών.

Το πρόβλημα του υπολογισμού της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών στο διάστημα λύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως σε ένα επίπεδο (§ 32). Ας συμβολίσουμε με φ το μέγεθος της γωνίας μεταξύ των ευθειών μεγάλο 1 και μεγάλο 2, και μέσω ψ - το μέγεθος της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης ΕΝΑ Και σι αυτές τις ευθείες γραμμές.

Τότε αν

ψ 90° (Εικ. 206.6), μετά φ = 180° - ψ. Προφανώς και στις δύο περιπτώσεις ισχύει η ισότητα cos φ = |cos ψ|. Με τον τύπο (1) § 20 έχουμε

ως εκ τούτου,

Αφήστε τις ευθείες να δίνονται από τις κανονικές τους εξισώσεις

Στη συνέχεια, η γωνία φ μεταξύ των γραμμών προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

Εάν μία από τις γραμμές (ή και οι δύο) δίνεται από μη κανονικές εξισώσεις, τότε για να υπολογίσετε τη γωνία πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης αυτών των γραμμών και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον τύπο (1).

17. Παράλληλες ευθείες, Θεωρήματα για παράλληλες ευθείες

Ορισμός.Δύο γραμμές σε ένα επίπεδο ονομάζονται παράλληλο, αν δεν έχουν κοινά σημεία.

Δύο γραμμές σε τρισδιάστατο χώρο ονομάζονται παράλληλο, αν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινά σημεία.

Η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων.

Από τον ορισμό του προϊόντος με κουκκίδες:

Συνθήκη για ορθογωνικότητα δύο διανυσμάτων:

Προϋπόθεση για συγγραμμικότητα δύο διανυσμάτων:

Ακολουθεί από τον ορισμό 5 - . Πράγματι, από τον ορισμό του γινομένου ενός διανύσματος και ενός αριθμού προκύπτει. Επομένως, με βάση τον κανόνα της ισότητας των διανυσμάτων, γράφουμε , , , που συνεπάγεται . Αλλά το διάνυσμα που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό του διανύσματος με τον αριθμό είναι συγγραμμικό με το διάνυσμα.

Προβολή του διανύσματος σε διάνυσμα:

Παράδειγμα 4. Δεδομένα σημεία , , , .

Βρείτε το προϊόν με κουκκίδες.

Λύση. βρίσκουμε τη χρήση του τύπου για το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων που καθορίζονται από τις συντεταγμένες τους. Επειδή η

, ,

Παράδειγμα 5.Δεδομένα σημεία , , , .

Βρείτε την προβολή.

Λύση. Επειδή η

, ,

Με βάση τον τύπο προβολής, έχουμε

Παράδειγμα 6.Δεδομένα σημεία , , , .

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και .

Λύση. Σημειώστε ότι τα διανύσματα

, ,

δεν είναι συγγραμμικές επειδή οι συντεταγμένες τους δεν είναι ανάλογες:

Αυτά τα διανύσματα δεν είναι επίσης κάθετα, αφού το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι .

Ας βρούμε

Γωνία βρίσκουμε από τον τύπο:

Παράδειγμα 7.Προσδιορίστε σε ποια διανύσματα και συγγραμμική.

Λύση. Στην περίπτωση της συγγραμμικότητας, οι αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων και πρέπει να είναι αναλογικό, δηλαδή:

Ως εκ τούτου και.

Παράδειγμα 8. Προσδιορίστε σε ποια τιμή του διανύσματος Και κάθετος.

Λύση. Διάνυσμα και είναι κάθετοι αν το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι μηδέν. Από αυτή τη συνθήκη παίρνουμε: . Αυτό είναι, .

Παράδειγμα 9. Εύρημα , Αν , , .

Λύση. Λόγω των ιδιοτήτων του βαθμωτού προϊόντος, έχουμε:

Παράδειγμα 10. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και , όπου και - μοναδιαία διανύσματα και η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και είναι ίση με 120°.

Λύση. Εχουμε: , ,

Τέλος έχουμε: .

5 Β. Διάνυσμα έργα τέχνης.

Ορισμός 21.Διάνυσμα έργα τέχνηςδιάνυσμα προς διάνυσμα ονομάζεται διάνυσμα ή ορίζεται από τις ακόλουθες τρεις συνθήκες:

1) Ο συντελεστής του διανύσματος είναι ίσος με , όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και , δηλ. .

Από αυτό προκύπτει ότι το μέτρο του διανυσματικού γινομένου είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου που έχει κατασκευαστεί στα διανύσματα και στις δύο πλευρές.

2) Το διάνυσμα είναι κάθετο σε καθένα από τα διανύσματα και ( ; ), δηλ. κάθετη στο επίπεδο ενός παραλληλογράμμου που κατασκευάζεται στα διανύσματα και .

3) Το διάνυσμα κατευθύνεται με τέτοιο τρόπο ώστε αν το δούμε από το άκρο του, η συντομότερη στροφή από διάνυσμα σε διάνυσμα θα ήταν αριστερόστροφα (τα διανύσματα , , σχηματίζουν ένα δεξιόστροφο τριπλό).

Πώς να υπολογίσετε τις γωνίες μεταξύ των διανυσμάτων;

Κατά τη μελέτη της γεωμετρίας, προκύπτουν πολλά ερωτήματα σχετικά με το θέμα των διανυσμάτων. Ο μαθητής αντιμετωπίζει ιδιαίτερες δυσκολίες όταν είναι απαραίτητο να βρει τις γωνίες μεταξύ των διανυσμάτων.

Βασικοί όροι

Πριν εξετάσουμε τις γωνίες μεταξύ των διανυσμάτων, είναι απαραίτητο να εξοικειωθείτε με τον ορισμό του διανύσματος και την έννοια της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων.

Διάνυσμα είναι ένα τμήμα που έχει κατεύθυνση, δηλαδή ένα τμήμα για το οποίο ορίζεται η αρχή και το τέλος του.

Η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων σε ένα επίπεδο που έχουν κοινή αρχή είναι η μικρότερη από τις γωνίες κατά την ποσότητα κατά την οποία ένα από τα διανύσματα πρέπει να μετακινηθεί γύρω από το κοινό σημείο μέχρι να συμπέσουν οι κατευθύνσεις τους.

Φόρμουλα για λύση

Μόλις καταλάβετε τι είναι ένα διάνυσμα και πώς καθορίζεται η γωνία του, μπορείτε να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων. Ο τύπος λύσης για αυτό είναι αρκετά απλός και το αποτέλεσμα της εφαρμογής του θα είναι η τιμή του συνημιτόνου της γωνίας. Σύμφωνα με τον ορισμό, ισούται με το πηλίκο του βαθμωτού γινομένου των διανυσμάτων και το γινόμενο των μηκών τους.

Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων υπολογίζεται ως το άθροισμα των αντίστοιχων συντεταγμένων των διανυσμάτων παραγόντων πολλαπλασιαζόμενα μεταξύ τους. Το μήκος ενός διανύσματος, ή ο συντελεστής του, υπολογίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συντεταγμένων του.

Έχοντας λάβει την τιμή του συνημιτόνου της γωνίας, μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή της ίδιας της γωνίας χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή ή χρησιμοποιώντας έναν τριγωνομετρικό πίνακα.

Παράδειγμα

Μόλις καταλάβετε πώς να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων, η επίλυση του αντίστοιχου προβλήματος θα γίνει απλή και ξεκάθαρη. Ως παράδειγμα, αξίζει να εξεταστεί το απλό πρόβλημα της εύρεσης της τιμής μιας γωνίας.

Πρώτα απ 'όλα, θα είναι πιο βολικό να υπολογίσετε τις τιμές των διανυσματικών μηκών και το βαθμωτό γινόμενο τους που είναι απαραίτητο για τη λύση. Χρησιμοποιώντας την περιγραφή που παρουσιάστηκε παραπάνω, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο, υπολογίζουμε την τιμή του συνημιτόνου της επιθυμητής γωνίας:

Αυτός ο αριθμός δεν είναι μία από τις πέντε κοινές τιμές συνημιτόνου, επομένως για να λάβετε τη γωνία, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή ή τον τριγωνομετρικό πίνακα Bradis. Αλλά πριν λάβουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων, ο τύπος μπορεί να απλοποιηθεί για να απαλλαγούμε από το επιπλέον αρνητικό πρόσημο:

Για να διατηρήσετε την ακρίβεια, η τελική απάντηση μπορεί να μείνει ως έχει ή μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή της γωνίας σε μοίρες. Σύμφωνα με τον πίνακα Bradis, η τιμή του θα είναι περίπου 116 μοίρες και 70 λεπτά και η αριθμομηχανή θα δείξει τιμή 116,57 μοίρες.

Υπολογισμός γωνίας σε ν-διάστατο χώρο

Όταν εξετάζουμε δύο διανύσματα σε τρισδιάστατο χώρο, είναι πολύ πιο δύσκολο να καταλάβουμε για ποια γωνία μιλάμε αν δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Για να απλοποιήσετε την αντίληψη, μπορείτε να σχεδιάσετε δύο τεμνόμενα τμήματα που σχηματίζουν τη μικρότερη γωνία μεταξύ τους· αυτή θα είναι η επιθυμητή. Παρόλο που υπάρχει μια τρίτη συντεταγμένη στο διάνυσμα, η διαδικασία υπολογισμού των γωνιών μεταξύ των διανυσμάτων δεν θα αλλάξει. Υπολογίστε το βαθμωτό γινόμενο και τους συντελεστές των διανυσμάτων· το συνημίτονο τόξου του πηλίκου τους θα είναι η απάντηση σε αυτό το πρόβλημα.

Στη γεωμετρία, υπάρχουν συχνά προβλήματα με χώρους που έχουν περισσότερες από τρεις διαστάσεις. Αλλά για αυτούς, ο αλγόριθμος για την εύρεση της απάντησης μοιάζει παρόμοιος.

Διαφορά μεταξύ 0 και 180 μοιρών

Ένα από τα κοινά λάθη κατά τη σύνταξη μιας απάντησης σε ένα πρόβλημα που έχει σχεδιαστεί για τον υπολογισμό της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων είναι η απόφαση να γράψουμε ότι τα διανύσματα είναι παράλληλα, δηλαδή η επιθυμητή γωνία είναι ίση με 0 ή 180 μοίρες. Αυτή η απάντηση είναι λανθασμένη.

Έχοντας λάβει την τιμή γωνίας 0 μοιρών ως αποτέλεσμα της λύσης, η σωστή απάντηση θα ήταν να ορίσουμε τα διανύσματα ως συμκατευθυντικά, δηλαδή τα διανύσματα θα έχουν την ίδια κατεύθυνση. Εάν ληφθούν 180 μοίρες, τα διανύσματα θα έχουν αντίθετη κατεύθυνση.

Συγκεκριμένοι φορείς

Έχοντας βρει τις γωνίες μεταξύ των διανυσμάτων, μπορείτε να βρείτε έναν από τους ειδικούς τύπους, εκτός από τους ομοκατευθυντικούς και αντίθετους κατευθυντικούς που περιγράφονται παραπάνω.

Πολλά διανύσματα παράλληλα σε ένα επίπεδο ονομάζονται συνεπίπεδα.
Τα διανύσματα που έχουν το ίδιο μήκος και φορά ονομάζονται ίσα.
Τα διανύσματα που βρίσκονται στην ίδια ευθεία, ανεξάρτητα από την κατεύθυνση, ονομάζονται συγγραμμικά.
Αν το μήκος ενός διανύσματος είναι μηδέν, δηλαδή η αρχή και το τέλος του συμπίπτουν, τότε λέγεται μηδέν και αν είναι ένα, τότε μονάδα.

Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων;

Βοηθήστε με παρακαλώ! Ξέρω τον τύπο, αλλά δεν μπορώ να τον υπολογίσω ((
διάνυσμα a (8; 10; 4) διάνυσμα b (5; -20; -10)

Αλεξάντερ Τίτοφ

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων που καθορίζονται από τις συντεταγμένες τους βρίσκεται χρησιμοποιώντας έναν τυπικό αλγόριθμο. Πρώτα πρέπει να βρείτε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων a και b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Αντικαθιστούμε εδώ τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων και υπολογίζουμε:
(α,β) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Στη συνέχεια, προσδιορίζουμε τα μήκη κάθε διανύσματος. Το μήκος ή το μέτρο ενός διανύσματος είναι η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συντεταγμένων του:
|α| = ρίζα του (x1^2 + y1^2 + z1^2) = ρίζα του (8^2 + 10^2 + 4^2) = ρίζα του (64 + 100 + 16) = ρίζα του 180 = 6 ρίζες του 5
|β| = ρίζα του (x2^2 + y2^2 + z2^2) = ρίζα του (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = ρίζα του (25 + 400 + 100) = ρίζα του 525 = 5 ρίζες του 21.
Πολλαπλασιάζουμε αυτά τα μήκη. Παίρνουμε 30 ρίζες από τις 105.
Και τέλος, διαιρούμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων. Παίρνουμε -200/(30 ρίζες του 105) ή
- (4 ρίζες του 105) / 63. Αυτό είναι το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων. Και η ίδια η γωνία είναι ίση με το συνημίτονο τόξου αυτού του αριθμού
f = τόξο (-4 ρίζες από 105) / 63.
Αν τα μετρούσα όλα σωστά.

Πώς να υπολογίσετε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των διανυσμάτων

Μιχαήλ Τκάτσεφ

Ας πολλαπλασιάσουμε αυτά τα διανύσματα. Το βαθμωτό γινόμενο τους είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας.
Η γωνία είναι άγνωστη σε εμάς, αλλά οι συντεταγμένες είναι γνωστές.
Ας το γράψουμε μαθηματικά έτσι.
Έστω τα διανύσματα a(x1;y1) και b(x2;y2).
Επειτα

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Ας μιλήσουμε.
Το α*β-κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων συντεταγμένων των συντεταγμένων αυτών των διανυσμάτων, δηλαδή ίσο με x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-το γινόμενο των διανυσματικών μηκών είναι ίσο με √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Αυτό σημαίνει ότι το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων είναι ίσο με:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Γνωρίζοντας το συνημίτονο μιας γωνίας, μπορούμε να υπολογίσουμε το ημίτονο της. Ας συζητήσουμε πώς να το κάνουμε αυτό:

Εάν το συνημίτονο μιας γωνίας είναι θετικό, τότε αυτή η γωνία βρίσκεται σε 1 ή 4 τεταρτημόρια, που σημαίνει ότι το ημίτονο της είναι είτε θετικό είτε αρνητικό. Επειδή όμως η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι μικρότερη ή ίση με 180 μοίρες, τότε το ημίτονο του είναι θετικό. Συλλογίζουμε παρόμοια αν το συνημίτονο είναι αρνητικό.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Αυτό είναι)))) καλή τύχη να το καταλάβεις)))

Ντμίτρι Λεβίτσεφ

Το γεγονός ότι είναι αδύνατο να γίνει απευθείας ημιτονία δεν είναι αλήθεια.
Εκτός από τον τύπο:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Υπάρχει και αυτό:
||=|α|*|β|*αμαρτία Α
Δηλαδή, αντί για το βαθμωτό γινόμενο, μπορείτε να πάρετε τη μονάδα του διανυσματικού γινόμενου.

Σημείο γινόμενο διανυσμάτων

Συνεχίζουμε να ασχολούμαστε με διανύσματα. Στο πρώτο μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελαΕξετάσαμε την έννοια του διανύσματος, τις ενέργειες με διανύσματα, τις συντεταγμένες του διανύσματος και τα απλούστερα προβλήματα με διανύσματα. Εάν ήρθατε σε αυτή τη σελίδα για πρώτη φορά από μηχανή αναζήτησης, σας συνιστώ να διαβάσετε το παραπάνω εισαγωγικό άρθρο, καθώς για να καταλάβετε το υλικό πρέπει να είστε εξοικειωμένοι με τους όρους και τις σημειώσεις που χρησιμοποιώ, να έχετε βασικές γνώσεις για διανύσματα και να μπορεί να λύνει βασικά προβλήματα. Αυτό το μάθημα είναι μια λογική συνέχεια του θέματος και σε αυτό θα αναλύσω λεπτομερώς τυπικές εργασίες που χρησιμοποιούν το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων. Αυτή είναι μια ΠΟΛΥ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ δραστηριότητα.. Προσπαθήστε να μην παραλείψετε τα παραδείγματα· συνοδεύονται από ένα χρήσιμο μπόνους - η πρακτική θα σας βοηθήσει να εμπεδώσετε το υλικό που έχετε καλύψει και να βελτιωθείτε στην επίλυση κοινών προβλημάτων στην αναλυτική γεωμετρία.

Πρόσθεση διανυσμάτων, πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό.... Θα ήταν αφελές να πιστεύουμε ότι οι μαθηματικοί δεν έχουν καταλήξει σε κάτι άλλο. Εκτός από τις ενέργειες που έχουν ήδη συζητηθεί, υπάρχει μια σειρά από άλλες πράξεις με διανύσματα, και συγκεκριμένα: τελείες γινόμενο των διανυσμάτων, διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτωνΚαι μικτό γινόμενο διανυσμάτων. Το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων μας είναι γνωστό από το σχολείο· τα άλλα δύο γινόμενα ανήκουν παραδοσιακά στο μάθημα των ανώτερων μαθηματικών. Τα θέματα είναι απλά, ο αλγόριθμος για την επίλυση πολλών προβλημάτων είναι απλός και κατανοητός. Το μόνο πράγμα. Υπάρχει ένας αξιοπρεπής όγκος πληροφοριών, επομένως δεν είναι επιθυμητό να προσπαθήσετε να κατακτήσετε και να λύσετε ΟΛΑ ΤΟΝΟΠΩΣ. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τα ανδρείκελα· πιστέψτε με, ο συγγραφέας δεν θέλει απολύτως να νιώθει σαν τον Chikatilo από τα μαθηματικά. Λοιπόν, ούτε από τα μαθηματικά, φυσικά, =) Οι πιο προετοιμασμένοι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν υλικά επιλεκτικά, κατά μία έννοια, να «πάρουν» τη γνώση που λείπει· για σένα θα είμαι ένας ακίνδυνος Κόμης Δράκουλας =)

Ας ανοίξουμε επιτέλους την πόρτα και ας παρακολουθήσουμε με ενθουσιασμό τι συμβαίνει όταν δύο φορείς συναντιούνται...

Ορισμός του βαθμωτού γινομένου των διανυσμάτων.
Ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος. Τυπικές εργασίες

Η έννοια ενός προϊόντος με κουκκίδες

Πρώτα για γωνία μεταξύ των διανυσμάτων. Νομίζω ότι όλοι καταλαβαίνουν διαισθητικά ποια είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων, αλλά για κάθε περίπτωση, λίγο περισσότερες λεπτομέρειες. Ας εξετάσουμε ελεύθερα μη μηδενικά διανύσματα και . Εάν σχεδιάσετε αυτά τα διανύσματα από ένα αυθαίρετο σημείο, θα πάρετε μια εικόνα που πολλοί έχουν ήδη φανταστεί νοερά:

Ομολογώ, εδώ περιέγραψα την κατάσταση μόνο σε επίπεδο κατανόησης. Εάν χρειάζεστε έναν αυστηρό ορισμό της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων, ανατρέξτε στο εγχειρίδιο· για πρακτικά προβλήματα, καταρχήν, δεν μας ωφελεί. Επίσης ΕΔΩ ΚΑΙ ΕΔΩ θα αγνοήσω μηδενικά διανύσματα κατά τόπους λόγω της χαμηλής πρακτικής σημασίας τους. Έκανα μια κράτηση ειδικά για προχωρημένους επισκέπτες του ιστότοπου που μπορεί να με κατηγορήσουν για τη θεωρητική ανεπάρκεια ορισμένων μεταγενέστερων δηλώσεων.

μπορεί να λάβει τιμές από 0 έως 180 μοίρες (0 έως ακτίνια), συμπεριλαμβανομένων. Αναλυτικά, το γεγονός αυτό γράφεται με τη μορφή διπλής ανισότητας:

(σε ακτίνια).

Στη βιβλιογραφία, το σύμβολο της γωνίας συχνά παραλείπεται και απλώς γράφεται.

Ορισμός:Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ΑΡΙΘΜΟΣ ίσος με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας:

Τώρα αυτός είναι ένας αρκετά αυστηρός ορισμός.

Εστιάζουμε σε βασικές πληροφορίες:

Ονομασία:το κλιμακωτό γινόμενο συμβολίζεται με ή απλά.

Το αποτέλεσμα της επέμβασης είναι ΑΡΙΘΜΟΣ: Το διάνυσμα πολλαπλασιάζεται με διάνυσμα και το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός. Πράγματι, αν τα μήκη των διανυσμάτων είναι αριθμοί, το συνημίτονο μιας γωνίας είναι ένας αριθμός, τότε το γινόμενο τους θα είναι επίσης ένας αριθμός.

Μόνο μερικά παραδείγματα προθέρμανσης:

Παράδειγμα 1

Λύση:Χρησιμοποιούμε τον τύπο . Σε αυτήν την περίπτωση:

Απάντηση:

Οι τιμές συνημιτόνου μπορούν να βρεθούν στο τριγωνομετρικός πίνακας. Συνιστώ να το εκτυπώσετε - θα χρειαστεί σχεδόν σε όλα τα τμήματα του πύργου και θα χρειαστεί πολλές φορές.

Από καθαρά μαθηματική άποψη, το βαθμωτό γινόμενο είναι αδιάστατο, δηλαδή το αποτέλεσμα, σε αυτή την περίπτωση, είναι απλώς ένας αριθμός και αυτό είναι. Από την άποψη των προβλημάτων φυσικής, ένα κλιμακωτό γινόμενο έχει πάντα μια συγκεκριμένη φυσική σημασία, δηλαδή μετά το αποτέλεσμα πρέπει να υποδεικνύεται μία ή άλλη φυσική μονάδα. Ένα κανονικό παράδειγμα υπολογισμού του έργου μιας δύναμης μπορεί να βρεθεί σε οποιοδήποτε εγχειρίδιο (ο τύπος είναι ακριβώς ένα βαθμωτό γινόμενο). Το έργο μιας δύναμης μετριέται σε Joules, επομένως, η απάντηση θα γραφτεί πολύ συγκεκριμένα, για παράδειγμα, .

Παράδειγμα 2

Βρείτε αν , και η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι ίση με .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας, η απάντηση βρίσκεται στο τέλος του μαθήματος.

Γωνία μεταξύ διανυσμάτων και τιμής προϊόντος κουκκίδας

Στο Παράδειγμα 1 το βαθμωτό γινόμενο αποδείχθηκε θετικό και στο Παράδειγμα 2 αποδείχθηκε αρνητικό. Ας μάθουμε από τι εξαρτάται το πρόσημο του βαθμωτού προϊόντος. Ας δούμε τον τύπο μας: . Τα μήκη των μη μηδενικών διανυσμάτων είναι πάντα θετικά: , οπότε το πρόσημο μπορεί να εξαρτάται μόνο από την τιμή του συνημιτόνου.

Σημείωση: Για να κατανοήσετε καλύτερα τις παρακάτω πληροφορίες, είναι καλύτερο να μελετήσετε το γράφημα συνημιτόνου στο εγχειρίδιο Γραφήματα συναρτήσεων και ιδιότητες. Δείτε πώς συμπεριφέρεται το συνημίτονο στο τμήμα.

Όπως έχει ήδη σημειωθεί, η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων μπορεί να ποικίλλει εντός και είναι δυνατές οι ακόλουθες περιπτώσεις:

1) Αν γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων αρωματώδης: (από 0 έως 90 μοίρες), τότε , Και το προϊόν με κουκκίδες θα είναι θετικό συνσκηνοθεσία, τότε η γωνία μεταξύ τους θεωρείται μηδέν και το βαθμωτό γινόμενο θα είναι επίσης θετικό. Επειδή , ο τύπος απλοποιεί: .

2) Αν γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων αμβλύς: (από 90 έως 180 μοίρες), λοιπόν και αντίστοιχα, το προϊόν κουκκίδας είναι αρνητικό: . Ειδική περίπτωση: αν τα διανύσματα αντίθετες κατευθύνσεις, τότε εξετάζεται η γωνία μεταξύ τους αναπτυγμένος: (180 μοίρες). Το κλιμακωτό γινόμενο είναι επίσης αρνητικό, αφού

Οι αντίστροφες δηλώσεις είναι επίσης αληθείς:

1) Αν , τότε η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι οξεία. Εναλλακτικά, τα διανύσματα είναι συνκατευθυντικά.

2) Αν , τότε η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι αμβλεία. Εναλλακτικά, τα διανύσματα είναι σε αντίθετες κατευθύνσεις.

Όμως η τρίτη περίπτωση παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον:

3) Αν γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων ευθεία: (90 μοίρες), λοιπόν το κλιμακωτό γινόμενο είναι μηδέν: . Ισχύει και το αντίστροφο: αν , τότε . Η δήλωση μπορεί να διατυπωθεί συμπαγώς ως εξής: Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι μηδέν αν και μόνο αν τα διανύσματα είναι ορθογώνια. Σύντομη μαθηματική σημειογραφία:

! Σημείωση : Ας επαναλάβουμε τα βασικά της μαθηματικής λογικής: Ένα εικονίδιο λογικής συνέπειας διπλής όψης συνήθως διαβάζεται "εάν και μόνο εάν", "εάν και μόνο εάν". Όπως μπορείτε να δείτε, τα βέλη κατευθύνονται και προς τις δύο κατευθύνσεις - "από αυτό ακολουθεί αυτό και αντίστροφα - από αυτό ακολουθεί αυτό." Ποια είναι, παρεμπιπτόντως, η διαφορά από το εικονίδιο μονόδρομης παρακολούθησης; Το εικονίδιο αναφέρει μόνο αυτό, ότι «από αυτό προκύπτει αυτό», και δεν είναι γεγονός ότι ισχύει το αντίθετο. Για παράδειγμα: , αλλά δεν είναι κάθε ζώο πάνθηρας, οπότε σε αυτήν την περίπτωση δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το εικονίδιο. Ταυτόχρονα, αντί για το εικονίδιο Μπορώχρησιμοποιήστε το εικονίδιο μιας όψης. Για παράδειγμα, κατά την επίλυση του προβλήματος, ανακαλύψαμε ότι καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα διανύσματα είναι ορθογώνια: - μια τέτοια καταχώριση θα είναι σωστή και ακόμη πιο κατάλληλη από .

Η τρίτη περίπτωση έχει μεγάλη πρακτική σημασία, καθώς σας επιτρέπει να ελέγξετε εάν τα διανύσματα είναι ορθογώνια ή όχι. Θα λύσουμε αυτό το πρόβλημα στη δεύτερη ενότητα του μαθήματος.

Ιδιότητες του προϊόντος με κουκκίδες

Ας επιστρέψουμε στην κατάσταση όταν δύο διανύσματα συνσκηνοθεσία. Σε αυτήν την περίπτωση, η γωνία μεταξύ τους είναι μηδέν, και ο τύπος του κλιμακωτού γινομένου παίρνει τη μορφή: .

Τι συμβαίνει αν ένα διάνυσμα πολλαπλασιαστεί από τον εαυτό του; Είναι σαφές ότι το διάνυσμα είναι ευθυγραμμισμένο με τον εαυτό του, επομένως χρησιμοποιούμε τον παραπάνω απλοποιημένο τύπο:

Ο αριθμός καλείται κλιμακωτό τετράγωνοδιάνυσμα, και συμβολίζονται ως .

Ετσι, το βαθμωτό τετράγωνο ενός διανύσματος είναι ίσο με το τετράγωνο του μήκους του δεδομένου διανύσματος:

Από αυτή την ισότητα μπορούμε να λάβουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό του μήκους του διανύσματος:

Μέχρι στιγμής φαίνεται ασαφές, αλλά οι στόχοι του μαθήματος θα βάλουν τα πάντα στη θέση τους. Για να λύσουμε τα προβλήματα χρειαζόμαστε επίσης ιδιότητες του προϊόντος με κουκκίδες.

Για αυθαίρετα διανύσματα και οποιονδήποτε αριθμό, ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

1) – ανταλλακτική ή ανταλλακτικήνόμος κλιμακωτών προϊόντων.

2) – διανομή ή διανεμητικόςνόμος κλιμακωτών προϊόντων. Απλώς, μπορείτε να ανοίξετε τις αγκύλες.

3) – συνειρμική ή προσεταιριστικήνόμος κλιμακωτών προϊόντων. Η σταθερά μπορεί να προκύψει από το βαθμωτό γινόμενο.

Συχνά, κάθε είδους ιδιότητες (που πρέπει επίσης να αποδειχθούν!) εκλαμβάνονται από τους μαθητές ως περιττά σκουπίδια, τα οποία χρειάζεται μόνο να απομνημονευθούν και να ξεχαστούν με ασφάλεια αμέσως μετά την εξέταση. Φαίνεται ότι αυτό που είναι σημαντικό εδώ, όλοι γνωρίζουν ήδη από την πρώτη τάξη ότι η αναδιάταξη των παραγόντων δεν αλλάζει το προϊόν: . Πρέπει να σας προειδοποιήσω ότι στα ανώτερα μαθηματικά είναι εύκολο να μπλέξετε τα πράγματα με μια τέτοια προσέγγιση. Έτσι, για παράδειγμα, η ανταλλακτική ιδιότητα δεν ισχύει για αλγεβρικοί πίνακες. Δεν ισχύει επίσης για διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων. Επομένως, τουλάχιστον, είναι καλύτερο να εμβαθύνετε σε όποιες ιδιότητες συναντήσετε σε ένα ανώτερο μάθημα μαθηματικών για να καταλάβετε τι μπορείτε να κάνετε και τι δεν μπορείτε.

Παράδειγμα 3

Λύση:Αρχικά, ας ξεκαθαρίσουμε την κατάσταση με το διάνυσμα. Τι είναι αυτό τέλος πάντων; Το άθροισμα των διανυσμάτων είναι ένα καλά καθορισμένο διάνυσμα, το οποίο συμβολίζεται με . Μια γεωμετρική ερμηνεία των ενεργειών με διανύσματα μπορεί να βρεθεί στο άρθρο Διανύσματα για ανδρείκελα. Ο ίδιος μαϊντανός με διάνυσμα είναι το άθροισμα των διανυσμάτων και .

Έτσι, σύμφωνα με την προϋπόθεση, απαιτείται να βρεθεί το βαθμωτό γινόμενο. Θεωρητικά, πρέπει να εφαρμόσετε τον τύπο εργασίας , αλλά το πρόβλημα είναι ότι δεν γνωρίζουμε τα μήκη των διανυσμάτων και τη γωνία μεταξύ τους. Αλλά η συνθήκη δίνει παρόμοιες παραμέτρους για διανύσματα, οπότε θα ακολουθήσουμε μια διαφορετική διαδρομή:

(1) Αντικαταστήστε τις εκφράσεις των διανυσμάτων.

(2) Ανοίγουμε τις αγκύλες σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων· ένα χυδαίο στριφτάρι γλώσσας μπορεί να βρεθεί στο άρθρο Μιγαδικοί αριθμοίή Ολοκλήρωση κλασματικής-ορθολογικής συνάρτησης. Δεν θα επαναλάβω τον εαυτό μου =) Παρεμπιπτόντως, η διανεμητική ιδιότητα του βαθμωτού προϊόντος μας επιτρέπει να ανοίξουμε τις αγκύλες. Έχουμε το δικαίωμα.

(3) Στον πρώτο και τον τελευταίο όρο γράφουμε συμπαγώς τα βαθμωτά τετράγωνα των διανυσμάτων: . Στον δεύτερο όρο χρησιμοποιούμε τη δυνατότητα μετατροπής του κλιμακωτού γινομένου: .

(4) Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους: .

(5) Στον πρώτο όρο χρησιμοποιούμε τον βαθμωτό τετράγωνο τύπο, ο οποίος αναφέρθηκε όχι πολύ καιρό πριν. Στον τελευταίο όρο, αντίστοιχα, λειτουργεί το ίδιο: . Επεκτείνουμε τον δεύτερο όρο σύμφωνα με τον τυπικό τύπο .

(6) Αντικαταστήστε αυτές τις προϋποθέσεις , και πραγματοποιήστε ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ τους τελικούς υπολογισμούς.

Απάντηση:

Μια αρνητική τιμή του βαθμωτού γινόμενου δηλώνει το γεγονός ότι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι αμβλεία.

Το πρόβλημα είναι τυπικό, εδώ είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας:

Παράδειγμα 4

Να βρείτε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και αν είναι γνωστό ότι .

Τώρα μια άλλη κοινή εργασία, μόνο για τον νέο τύπο για το μήκος ενός διανύσματος. Η σημείωση εδώ θα είναι λίγο επικαλυπτόμενη, οπότε για λόγους σαφήνειας θα την ξαναγράψω με διαφορετικό γράμμα:

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το μήκος του διανύσματος αν .

Λύσηθα είναι ως εξής:

(1) Παρέχουμε την έκφραση για το διάνυσμα .

(2) Χρησιμοποιούμε τον τύπο μήκους: , και ολόκληρη η έκφραση ve λειτουργεί ως διάνυσμα "ve".

(3) Χρησιμοποιούμε τον σχολικό τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος. Παρατηρήστε πώς λειτουργεί εδώ με έναν περίεργο τρόπο: – στην πραγματικότητα, είναι το τετράγωνο της διαφοράς και, στην πραγματικότητα, έτσι είναι. Όσοι επιθυμούν μπορούν να αναδιατάξουν τα διανύσματα: - συμβαίνει το ίδιο, μέχρι την αναδιάταξη των όρων.

(4) Αυτό που ακολουθεί είναι ήδη γνωστό από τα δύο προηγούμενα προβλήματα.

Απάντηση:

Δεδομένου ότι μιλάμε για μήκος, μην ξεχάσετε να υποδείξετε τη διάσταση - "μονάδες".

Παράδειγμα 6

Να βρείτε το μήκος του διανύσματος αν .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Συνεχίζουμε να συμπιέζουμε χρήσιμα πράγματα από το προϊόν κουκίδων. Ας δούμε ξανά τη φόρμουλα μας . Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αναλογίας, επαναφέρουμε τα μήκη των διανυσμάτων στον παρονομαστή της αριστερής πλευράς:

Ας ανταλλάξουμε τα μέρη:

Ποιο είναι το νόημα αυτού του τύπου; Εάν τα μήκη δύο διανυσμάτων και το βαθμωτό γινόμενο τους είναι γνωστά, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτών των διανυσμάτων και, κατά συνέπεια, την ίδια τη γωνία.

Το γινόμενο με τελείες είναι αριθμός; Αριθμός. Τα διανυσματικά μήκη είναι αριθμοί; Αριθμοί. Αυτό σημαίνει ότι ένα κλάσμα είναι επίσης ένας αριθμός. Και αν το συνημίτονο της γωνίας είναι γνωστό: , τότε χρησιμοποιώντας την αντίστροφη συνάρτηση είναι εύκολο να βρείτε την ίδια τη γωνία: .

Παράδειγμα 7

Να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και αν είναι γνωστό ότι .

Λύση:Χρησιμοποιούμε τον τύπο:

Στο τελικό στάδιο των υπολογισμών, χρησιμοποιήθηκε μια τεχνική τεχνική - εξαλείφοντας τον παραλογισμό στον παρονομαστή. Για να εξαλείψω τον παραλογισμό, πολλαπλασίασα τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί .

Οπότε αν , Οτι:

Οι τιμές των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων μπορούν να βρεθούν από τριγωνομετρικός πίνακας. Αν και αυτό συμβαίνει σπάνια. Σε προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας, πολύ πιο συχνά κάποια αδέξια αρκούδα όπως , και η τιμή της γωνίας πρέπει να βρεθεί περίπου χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή. Στην πραγματικότητα, θα δούμε μια τέτοια εικόνα περισσότερες από μία φορές.

Απάντηση:

Και πάλι, μην ξεχάσετε να υποδείξετε τις διαστάσεις - ακτίνια και μοίρες. Προσωπικά, για να «λύσω όλα τα ερωτήματα» προφανώς, προτιμώ να αναφέρω και τα δύο (εκτός αν η συνθήκη, φυσικά, απαιτεί την παρουσίαση της απάντησης μόνο σε ακτίνια ή μόνο σε μοίρες).

Τώρα μπορείτε να αντιμετωπίσετε ανεξάρτητα μια πιο περίπλοκη εργασία:

Παράδειγμα 7*

Δίνονται τα μήκη των διανυσμάτων και η μεταξύ τους γωνία. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων , .

Η εργασία δεν είναι τόσο δύσκολη όσο είναι πολλαπλών βημάτων.
Ας δούμε τον αλγόριθμο επίλυσης:

1) Σύμφωνα με την συνθήκη, πρέπει να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και , επομένως πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο .

2) Βρείτε το βαθμωτό γινόμενο (βλ. Παραδείγματα Νο. 3, 4).

3) Βρείτε το μήκος του διανύσματος και το μήκος του διανύσματος (βλ. Παραδείγματα Νο. 5, 6).

4) Το τέλος της λύσης συμπίπτει με το Παράδειγμα Νο. 7 - γνωρίζουμε τον αριθμό , πράγμα που σημαίνει ότι είναι εύκολο να βρεθεί η ίδια η γωνία:

Μια σύντομη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Η δεύτερη ενότητα του μαθήματος είναι αφιερωμένη στο ίδιο βαθμωτό γινόμενο. Συντεταγμένες. Θα είναι ακόμα πιο εύκολο από ότι στο πρώτο μέρος.

Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων,
δίνονται από συντεταγμένες σε ορθοκανονική βάση

Απάντηση:

Περιττό να πούμε ότι η ενασχόληση με τις συντεταγμένες είναι πολύ πιο ευχάριστη.

Παράδειγμα 14

Βρείτε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και αν

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συσχέτιση της πράξης, δηλαδή να μην μετράτε , αλλά να βγάλετε αμέσως το τριπλό έξω από το βαθμωτό γινόμενο και να το πολλαπλασιάσετε με το τελευταίο. Η λύση και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.

Στο τέλος της ενότητας, ένα προκλητικό παράδειγμα για τον υπολογισμό του μήκους ενός διανύσματος:

Παράδειγμα 15

Να βρείτε τα μήκη των διανυσμάτων , Αν

Λύση:Η μέθοδος της προηγούμενης ενότητας προτείνεται ξανά: αλλά υπάρχει και άλλος τρόπος:

Ας βρούμε το διάνυσμα:

Και το μήκος του σύμφωνα με τον ασήμαντο τύπο :

Το προϊόν με κουκκίδες δεν είναι καθόλου σχετικό εδώ!

Δεν είναι επίσης χρήσιμο κατά τον υπολογισμό του μήκους ενός διανύσματος:
Να σταματήσει. Δεν πρέπει να εκμεταλλευτούμε την προφανή ιδιότητα του διανυσματικού μήκους; Τι μπορείτε να πείτε για το μήκος του διανύσματος; Αυτό το διάνυσμα είναι 5 φορές μεγαλύτερο από το διάνυσμα. Η κατεύθυνση είναι αντίθετη, αλλά αυτό δεν έχει σημασία, γιατί μιλάμε για μήκος. Προφανώς, το μήκος του διανύσματος είναι ίσο με το γινόμενο μονάδα μέτρησηςαριθμοί ανά διάνυσμα μήκος:
– το σύμβολο συντελεστή «τρώει» το πιθανό μείον του αριθμού.

Ετσι:

Απάντηση:

Τύπος για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων που καθορίζονται με συντεταγμένες

Τώρα έχουμε πλήρεις πληροφορίες για να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο που προέκυψε προηγουμένως για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων εκφράστε μέσω διανυσματικών συντεταγμένων:

Συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των επίπεδων διανυσμάτωνκαι , καθορίζονται σε ορθοκανονική βάση, εκφράζεται με τον τύπο:
.

Συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων του χώρου, καθορίζεται σε ορθοκανονική βάση, εκφράζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα 16

Δίνονται τρεις κορυφές τριγώνου. Βρείτε (γωνία κορυφής).

Λύση:Σύμφωνα με τις συνθήκες, το σχέδιο δεν απαιτείται, αλλά και πάλι:

Η απαιτούμενη γωνία σημειώνεται με πράσινο τόξο. Ας θυμηθούμε αμέσως τον σχολικό προσδιορισμό γωνίας: – ιδιαίτερη προσοχή μέση τιμήγράμμα - αυτή είναι η κορυφή της γωνίας που χρειαζόμαστε. Για συντομία, μπορείτε επίσης να γράψετε απλά .

Από το σχέδιο είναι προφανές ότι η γωνία του τριγώνου συμπίπτει με τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και, με άλλα λόγια: .

Συνιστάται να μάθετε πώς να κάνετε την ανάλυση διανοητικά.

Ας βρούμε τα διανύσματα:

Ας υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο:

Και τα μήκη των διανυσμάτων:

Συνημίτονο γωνίας:

Αυτή ακριβώς είναι η σειρά ολοκλήρωσης της εργασίας που προτείνω για τα ανδρείκελα. Οι πιο προχωρημένοι αναγνώστες μπορούν να γράψουν τους υπολογισμούς «σε μία γραμμή»:

Εδώ είναι ένα παράδειγμα μιας "κακής" τιμής συνημιτόνου. Η τιμή που προκύπτει δεν είναι τελική, επομένως δεν έχει νόημα να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή.

Ας βρούμε την ίδια τη γωνία:

Αν κοιτάξετε το σχέδιο, το αποτέλεσμα είναι αρκετά εύλογο. Για έλεγχο, η γωνία μπορεί να μετρηθεί και με μοιρογνωμόνιο. Μην καταστρέψετε το κάλυμμα της οθόνης =)

Απάντηση:

Στην απάντηση δεν το ξεχνάμε αυτό ρώτησε για τη γωνία ενός τριγώνου(και όχι για τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων), μην ξεχάσετε να υποδείξετε την ακριβή απάντηση: και την κατά προσέγγιση τιμή της γωνίας: , βρέθηκε χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή.

Όσοι έχουν απολαύσει τη διαδικασία μπορούν να υπολογίσουν τις γωνίες και να επαληθεύσουν την εγκυρότητα της κανονικής ισότητας

Παράδειγμα 17

Ένα τρίγωνο ορίζεται στο διάστημα από τις συντεταγμένες των κορυφών του. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των πλευρών και

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος

Μια σύντομη τελευταία ενότητα θα αφιερωθεί στις προβολές, οι οποίες περιλαμβάνουν επίσης ένα κλιμακωτό προϊόν:

Προβολή ενός διανύσματος σε ένα διάνυσμα. Προβολή ενός διανύσματος σε άξονες συντεταγμένων.
Συνημίτονα κατεύθυνσης ενός διανύσματος

Εξετάστε τα διανύσματα και:

Ας προβάλουμε το διάνυσμα στο διάνυσμα· για να το κάνουμε αυτό, από την αρχή και το τέλος του διανύσματος παραλείπουμε κάθετεςσε διάνυσμα (πράσινες διακεκομμένες γραμμές). Φανταστείτε ότι οι ακτίνες φωτός πέφτουν κάθετα πάνω στο διάνυσμα. Τότε το τμήμα (κόκκινη γραμμή) θα είναι η «σκιά» του διανύσματος. Στην περίπτωση αυτή, η προβολή του διανύσματος πάνω στο διάνυσμα είναι το ΜΗΚΟΣ του τμήματος. Δηλαδή η ΠΡΟΒΟΛΗ ΕΙΝΑΙ ΑΡΙΘΜΟΣ.

Αυτός ο ΑΡΙΘΜΟΣ συμβολίζεται ως εξής: , "μεγάλο διάνυσμα" υποδηλώνει το διάνυσμα ΟΙ ΟΠΟΙΕΣέργο, το «διάνυσμα μικρού δείκτη» υποδηλώνει το διάνυσμα ΕΠΙπου προβάλλεται.

Το ίδιο το λήμμα έχει ως εξής: "προβολή του διανύσματος "a" στο διάνυσμα "be".

Τι συμβαίνει εάν το διάνυσμα "be" είναι "πολύ μικρό"; Σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή που περιέχει το διάνυσμα "be". Και το διάνυσμα "a" θα προβληθεί ήδη προς την κατεύθυνση του διανύσματος "be", απλά - στην ευθεία που περιέχει το διάνυσμα "be". Το ίδιο πράγμα θα συμβεί εάν το διάνυσμα "a" αναβληθεί στο τριακοστό βασίλειο - θα εξακολουθεί να προβάλλεται εύκολα στην ευθεία γραμμή που περιέχει το διάνυσμα "be".

Αν η γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων αρωματώδης(όπως στην εικόνα), λοιπόν

Αν οι φορείς ορθογώνιο, τότε (η προβολή είναι ένα σημείο του οποίου οι διαστάσεις θεωρούνται μηδέν).

Αν η γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων αμβλύς(στο σχήμα, αναδιατάξτε διανοητικά το διανυσματικό βέλος), στη συνέχεια (το ίδιο μήκος, αλλά λαμβάνεται με το σύμβολο μείον).

Ας σχεδιάσουμε αυτά τα διανύσματα από ένα σημείο:

Προφανώς, όταν ένα διάνυσμα κινείται, η προβολή του δεν αλλάζει

Το μήκος ενός διανύσματος, η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων - αυτές οι έννοιες είναι φυσικά εφαρμόσιμες και διαισθητικές όταν ορίζουμε ένα διάνυσμα ως τμήμα μιας συγκεκριμένης κατεύθυνσης. Παρακάτω θα μάθουμε πώς να προσδιορίζουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων στον τρισδιάστατο χώρο, το συνημίτονό του και θα εξετάσουμε τη θεωρία χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Για να εξετάσουμε την έννοια της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων, ας στραφούμε σε μια γραφική απεικόνιση: ας ορίσουμε δύο διανύσματα a → και b → σε ένα επίπεδο ή σε τρισδιάστατο χώρο, τα οποία είναι μη μηδενικά. Ας ορίσουμε επίσης ένα αυθαίρετο σημείο O και ας σχεδιάσουμε τα διανύσματα O A → = b → και O B → = b → από αυτό

Ορισμός 1

Γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων a → και b → είναι η γωνία μεταξύ των ακτίνων O A και O B.

Θα συμβολίσουμε τη γωνία που προκύπτει ως εξής: a → , b → ^

Προφανώς, η γωνία μπορεί να πάρει τιμές από 0 έως π ή από 0 έως 180 μοίρες.

a → , b → ^ = 0 όταν τα διανύσματα είναι ομοκατευθυνόμενα και a → , b → ^ = π όταν τα διανύσματα είναι αντίθετα κατευθυνόμενα.

Ορισμός 2

Τα διανύσματα ονομάζονται κάθετος, αν η γωνία μεταξύ τους είναι 90 μοίρες ή π 2 ακτίνια.

Αν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα είναι μηδέν, τότε η γωνία a → , b → ^ δεν ορίζεται.

Το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων, και επομένως η ίδια η γωνία, μπορεί συνήθως να προσδιοριστεί είτε χρησιμοποιώντας το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων είτε χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου για ένα τρίγωνο που κατασκευάζεται από δύο δεδομένα διανύσματα.

Σύμφωνα με τον ορισμό, το κλιμακωτό γινόμενο είναι a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Εάν τα διανύσματα a → και b → είναι μη μηδενικά, τότε μπορούμε να διαιρέσουμε τη δεξιά και την αριστερή πλευρά της ισότητας με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων, λαμβάνοντας έτσι έναν τύπο για την εύρεση του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ μη μηδενικά διανύσματα:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → b →

Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται όταν τα δεδομένα πηγής περιλαμβάνουν τα μήκη των διανυσμάτων και το βαθμωτό γινόμενο τους.

Παράδειγμα 1

Αρχικά δεδομένα: διανύσματα a → και b →. Τα μήκη τους είναι 3 και 6, αντίστοιχα, και το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι - 9. Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων και να βρεθεί η ίδια η γωνία.

Λύση

Τα αρχικά δεδομένα είναι επαρκή για να εφαρμοστεί ο τύπος που λήφθηκε παραπάνω, τότε cos a → , b → ^ = - 9 3 6 = - 1 2 ,

Τώρα ας προσδιορίσουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4

Απάντηση: cos a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Πιο συχνά υπάρχουν προβλήματα όπου τα διανύσματα καθορίζονται με συντεταγμένες σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Για τέτοιες περιπτώσεις, είναι απαραίτητο να εξαχθεί ο ίδιος τύπος, αλλά σε μορφή συντεταγμένων.

Το μήκος ενός διανύσματος ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συντεταγμένων του και το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων συντεταγμένων. Τότε ο τύπος για την εύρεση του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων στο επίπεδο a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) μοιάζει με αυτό:

cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Και ο τύπος για την εύρεση του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων στον τρισδιάστατο χώρο a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) θα μοιάζει με: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Παράδειγμα 2

Αρχικά δεδομένα: διανύσματα a → = (2, 0, - 1), b → = (1, 2, 3) σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η γωνία μεταξύ τους.

Λύση

Για να λύσουμε το πρόβλημα, μπορούμε να εφαρμόσουμε αμέσως τον τύπο:

cos a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos (- 1 70) = - a r c cos 1 70

Μπορείτε επίσης να προσδιορίσετε τη γωνία χρησιμοποιώντας τον τύπο:

cos a → , b → ^ = (a → , b →) a → b → ,

αλλά πρώτα να υπολογίσετε τα μήκη των διανυσμάτων και το βαθμωτό γινόμενο με συντεταγμένες: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = - 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = - 1 5 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Απάντηση: a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Συχνές είναι επίσης οι εργασίες όταν οι συντεταγμένες τριών σημείων δίνονται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί κάποια γωνία. Και στη συνέχεια, για να προσδιοριστεί η γωνία μεταξύ διανυσμάτων με δεδομένες συντεταγμένες σημείων, είναι απαραίτητο να υπολογιστούν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων ως η διαφορά μεταξύ των αντίστοιχων σημείων της αρχής και του τέλους του διανύσματος.

Παράδειγμα 3

Αρχικά δεδομένα: τα σημεία A (2, - 1), B (3, 2), C (7, - 2) δίνονται στο επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων A C → και B C →.

Λύση

Ας βρούμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων από τις συντεταγμένες των δοσμένων σημείων A C → = (7 - 2, - 2 - (- 1)) = (5, - 1) B C → = (7 - 3, - 2 - 2) = (4, - 4)

Τώρα χρησιμοποιούμε τον τύπο για να προσδιορίσουμε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων σε ένα επίπεδο σε συντεταγμένες: cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → · B C → = 5 · 4 + (- 1) · (- 4) 5 2 + (- 1) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13

Απάντηση: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου. Ας αφήσουμε κατά μέρος τα διανύσματα O A → = a → και O B → = b → από το σημείο O, τότε, σύμφωνα με το θεώρημα συνημιτόνου στο τρίγωνο O A B, η ισότητα θα είναι αληθής:

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) ,

που ισοδυναμεί με:

b → - a → 2 = a → + b → - 2 a → b → cos (a → , b →) ^

και από εδώ εξάγουμε τον τύπο για το συνημίτονο της γωνίας:

cos (a → , b →) ^ = 1 2 a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → b →

Για να εφαρμόσουμε τον τύπο που προκύπτει, χρειαζόμαστε τα μήκη των διανυσμάτων, τα οποία μπορούν εύκολα να προσδιοριστούν από τις συντεταγμένες τους.

Αν και πραγματοποιείται αυτή η μέθοδος, ο τύπος εξακολουθεί να χρησιμοποιείται συχνότερα:

cos (a → , b →) ^ = a → , b → a → b →

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Η γνώση και η κατανόηση των μαθηματικών όρων θα βοηθήσει στην επίλυση πολλών προβλημάτων τόσο σε μαθήματα άλγεβρας όσο και σε μαθήματα γεωμετρίας. Εξίσου σημαντικό ρόλο δίνουν οι τύποι που εμφανίζουν τις σχέσεις μεταξύ μαθηματικών χαρακτηριστικών.

Γωνία μεταξύ διανυσμάτων - επεξηγημένη ορολογία

Προκειμένου να διατυπωθεί ένας ορισμός της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων, είναι απαραίτητο να μάθουμε τι σημαίνει ο όρος «διάνυσμα». Αυτή η έννοια χαρακτηρίζει ένα τμήμα μιας ευθείας γραμμής που έχει αρχή, μήκος και κατεύθυνση. Αν μπροστά σας υπάρχουν 2 κατευθυνόμενα τμήματα που πηγάζουν από το ίδιο σημείο, άρα σχηματίζουν γωνία.

Οτι. Ο όρος «γωνία μεταξύ διανυσμάτων» ορίζει το μέτρο βαθμών της μικρότερης γωνίας κατά την οποία πρέπει να περιστραφεί ένα κατευθυνόμενο τμήμα (σε σχέση με το σημείο εκκίνησης) έτσι ώστε να παίρνει τη θέση/κατεύθυνση του δεύτερου κατευθυνόμενου τμήματος της ευθείας. Αυτή η δήλωση ισχύει για διανύσματα που προέρχονται από ένα σημείο.

Το μέτρο μοιρών της γωνίας μεταξύ δύο κατευθυνόμενων τμημάτων μιας ευθείας που ξεκινά από το ίδιο σημείο περιέχεται σε ένα τμήμα από 0 º έως 180 º. Αυτή η ποσότητα συμβολίζεται ως ∠(ā,ū) – η γωνία μεταξύ των κατευθυνόμενων τμημάτων à και ū.

Υπολογισμός της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων

Ο υπολογισμός του βαθμού μέτρησης της γωνίας που σχηματίζεται από ένα ζεύγος κατευθυνόμενων τμημάτων μιας ευθείας γραμμής πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

cosφ = (ō,ā) / |ō|·|ā|, ⇒ φ = arccos (cosφ).

∠φ – η επιθυμητή γωνία μεταξύ των δεδομένων διανυσμάτων ō και ā,

(ō,ā) – το γινόμενο των βαθμωτών των κατευθυνόμενων τμημάτων της γραμμής,

|ō|·|ā| – γινόμενο των μηκών δεδομένων κατευθυνόμενων τμημάτων.

Προσδιορισμός του βαθμωτού γινόμενου κατευθυνόμενων τμημάτων ευθείας γραμμής

Πώς να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον τύπο και να προσδιορίσετε την τιμή του αριθμητή και του παρονομαστή της παρουσιαζόμενης αναλογίας;

Ανάλογα με το σύστημα συντεταγμένων (καρτεσιανό ή τρισδιάστατο χώρο) στο οποίο βρίσκονται τα δεδομένα διανύσματα, κάθε κατευθυνόμενο τμήμα έχει τις ακόλουθες παραμέτρους:

ō = { οΧ, ο y ), ā = ( ένα x, ένα y) ή

ō = { οΧ, ο y ,ο z ), ā = ( ένα x, ένα y , ένα z).

Επομένως, για να βρείτε την τιμή του αριθμητή - τον βαθμωτή των κατευθυνόμενων τμημάτων - θα πρέπει να εκτελέσετε τις ακόλουθες ενέργειες:

(ō,ā) = ō * ā = οΧ* ένα x+ ο y *ένα y εάν τα υπό εξέταση διανύσματα βρίσκονται στο επίπεδο

(ō,ā) = ō * ā = οΧ* ένα x+ ο y *ένα y + ο z* ένα z αν τα κατευθυνόμενα τμήματα της γραμμής βρίσκονται στο κενό.

Προσδιορισμός διανυσματικών μηκών

Το μήκος του κατευθυνόμενου τμήματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τις εκφράσεις:

|ō| = √ ο x 2 + ο y 2 ή |ō| = √ ο x 2 + ο y2+ ο z 2

|ā| = √ a x 2 + ένα y 2 ή |ā| = √ ένα x 2 + ένα y2+ ένα z 2

Οτι. στη γενική περίπτωση της μέτρησης n-διαστάσεων, η έκφραση για τον προσδιορισμό του βαθμού μέτρησης της γωνίας μεταξύ κατευθυνόμενων τμημάτων ō = ( οΧ, ο y , … ο n) και ā = ( ένα x, ένα y , … ένα n ) μοιάζει με αυτό:

φ = arccos (cosφ) = arccos (( οΧ* ένα x+ ο y *ένα y + … + ο n* ένα n)/(√ ο x 2 + ο y 2 + … + ο n2*√ ένα x 2 + ένα y 2 + … + έναν 2)).

Ένα παράδειγμα υπολογισμού της γωνίας μεταξύ κατευθυνόμενων τμημάτων

Σύμφωνα με τις συνθήκες, δίνονται τα διανύσματα ī = (3; 4; 0) και ū = (4; 4; 2). Ποιο είναι το μέτρο της μοίρας της γωνίας που σχηματίζουν αυτά τα τμήματα;

Ορίστε το βαθμωτό των διανυσμάτων ī και ū. Για αυτό:

i * u = 3*4 + 4*4 + 0*2 = 28

Στη συνέχεια, υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων:

|ī| = √9 + 16 + 0 = √25 = 5,

|ū| = √16 + 16 + 4 = √36 = 6.

cos (ī,ū) = 28 / 5*6 = 28/30 = 14/15 = 0,9(3).

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα τιμών συνημιτόνου (Bradis), προσδιορίστε την τιμή της επιθυμητής γωνίας:

cos (ī,ū) = 0,9(3) ⇒ ∠(ī,ū) = 21° 6′.

Βασικοί όροι

Διάνυσμα είναι ένα τμήμα που έχει κατεύθυνση, δηλαδή ένα τμήμα για το οποίο ορίζεται η αρχή και το τέλος του.

Φόρμουλα για λύση

Παράδειγμα

Υπολογισμός γωνίας σε ν-διάστατο χώρο

Διαφορά μεταξύ 0 και 180 μοιρών

Συγκεκριμένοι φορείς

Πολλά διανύσματα παράλληλα σε ένα επίπεδο ονομάζονται συνεπίπεδα.
Τα διανύσματα που έχουν το ίδιο μήκος και φορά ονομάζονται ίσα.
Τα διανύσματα που βρίσκονται στην ίδια ευθεία, ανεξάρτητα από την κατεύθυνση, ονομάζονται συγγραμμικά.
Αν το μήκος ενός διανύσματος είναι μηδέν, δηλαδή η αρχή και το τέλος του συμπίπτουν, τότε λέγεται μηδέν και αν είναι ένα, τότε μονάδα.

Η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων.

Πώς να υπολογίσετε τις γωνίες μεταξύ των διανυσμάτων;

Βασικοί όροι

Φόρμουλα για λύση

Παράδειγμα

Υπολογισμός γωνίας σε ν-διάστατο χώρο

Διαφορά μεταξύ 0 και 180 μοιρών

Συγκεκριμένοι φορείς

Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων;

Πώς να υπολογίσετε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των διανυσμάτων

Σημείο γινόμενο διανυσμάτων

Ορισμός του βαθμωτού γινομένου των διανυσμάτων.Ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος. Τυπικές εργασίες

Η έννοια ενός προϊόντος με κουκκίδες

Γωνία μεταξύ διανυσμάτων και τιμής προϊόντος κουκκίδας

Ιδιότητες του προϊόντος με κουκκίδες

Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων, δίνονται από συντεταγμένες σε ορθοκανονική βάση

Τύπος για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων που καθορίζονται με συντεταγμένες

Προβολή ενός διανύσματος σε ένα διάνυσμα. Προβολή ενός διανύσματος σε άξονες συντεταγμένων.Συνημίτονα κατεύθυνσης ενός διανύσματος

Γωνία μεταξύ διανυσμάτων - επεξηγημένη ορολογία

Υπολογισμός της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων

Προσδιορισμός του βαθμωτού γινόμενου κατευθυνόμενων τμημάτων ευθείας γραμμής

Προσδιορισμός διανυσματικών μηκών

Ένα παράδειγμα υπολογισμού της γωνίας μεταξύ κατευθυνόμενων τμημάτων

Βασικοί όροι

Φόρμουλα για λύση

Παράδειγμα

Υπολογισμός γωνίας σε ν-διάστατο χώρο

Διαφορά μεταξύ 0 και 180 μοιρών

Συγκεκριμένοι φορείς

Ορισμός του βαθμωτού γινομένου των διανυσμάτων.
Ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος. Τυπικές εργασίες

Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων,
δίνονται από συντεταγμένες σε ορθοκανονική βάση

Προβολή ενός διανύσματος σε ένα διάνυσμα. Προβολή ενός διανύσματος σε άξονες συντεταγμένων.
Συνημίτονα κατεύθυνσης ενός διανύσματος