Наряду со средними величинами в качестве статистических характеристик вариационных рядов распределения рассчитываются структурные средние – мода
и медиана
.
Мода
(Mo) представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой, т.е. мода – значение признака, встречающееся чаще всего.
Медианой
(Me) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности, т.е. медиана – центральное значение вариационного ряда.
Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины ∑|x i - Me|=min.
Определение моды и медианы по несгруппированным данным
Рассмотрим определение моды и медианы по несгруппированным данным . Предположим, рабочие бригады, состоящей из 9 человек, имеют следующие тарифные разряды: 4 3 4 5 3 3 6 2 6 . Так как в данной бригаде больше всего рабочих 3-го разряда, этот тарифный разряд будет модальным. Mo = 3.Для определения медианы необходимо провести ранжирование: 2 3 3 3 4 4 5 6 6 . Центральным в этом ряду является рабочий 4-го разряда, следовательно, данный разряд и будет медианным. Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.
Если мода отражает наиболее распространенный вариант значения признака, то медиана практически выполняет функции средней для неоднородной, не подчиняющейся нормальному закону распределения совокупности. Проиллюстрируем ее познавательное значение следующим примером.
Допустим, нам необходимо дать характеристику среднего дохода группы людей, насчитывающей 100 человек, из которых 99 имеют доходы в интервале от 100 до 200 долларов в месяц, а месячные доходы последнего составляют 50000 долларов (табл. 1).
Таблица 1 - Месячные доходы исследуемой группы людей. Если воспользоваться средней арифметической, то получим средний доход, равный примерно 600 – 700 долларов, который имеет мало общего с доходами основной части группы. Медиана же, равная в данном случае Me = 163 доллара, позволит дать объективную характеристику уровня доходов 99 % данной группы людей.
Рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным данным (рядам распределения).
Предположим, распределение рабочих всего предприятия в целом по тарифному разряду имеет следующий вид (табл. 2).
Таблица 2 - Распределение рабочих предприятия по тарифному разряду
Расчет моды и медианы для дискретного ряда
Расчет моды и медианы для интервального ряд
Расчет моды и медианы для вариационного ряда
Определение моды по дискретному вариационному ряду
Используется построенный ранее ряд значений признака, отсортированных по величине. Если объем выборки нечетный, берем центральное значение; если объем выборки четный, берем среднее арифметическое двух центральных значений.Определение моды по дискретному вариационному ряду : наибольшую частоту (60 человек) имеет 5-й тарифный разряд, следовательно, он и является модальным. Mo = 5.
Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят номер медианной единицы ряда (N Me): , где n - объем совокупности.
В нашем случае:
.
Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц совокупности, указывает, что точная середина находится между 95 и 96 рабочими. Необходимо определить, к какой группе относятся рабочие с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Рабочих с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 12 человек, нет их и во второй группе (12+48=60). 95-й и 96-й рабочие находятся в третьей группе (12+48+56=116), следовательно, медианным является 4-й тарифный разряд.
Расчет моды и медианы в интервальном ряду
В отличие от дискретных вариационных рядов определение моды и медианы по интервальным рядам требует проведения определенных расчетов на основе следующих формул:
, (5.6)
где x 0 – нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);
i – величина модального интервала;
f Mo – частота модального интервала;
f Mo -1 – частота интервала, предшествующего модальному;
f Mo +1 – частота интервала, следующего за модальным.
(5.7)
где x 0 – нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);
i – величина медианного интервала;
S Me -1 – накопленная интервала, предшествующего медианному;
f Me – частота медианного интервала.
Проиллюстрируем применение этих формул, используя данные табл. 3.
Интервал с границами 60 – 80 в данном распределении будет модальным, т.к. он имеет наибольшую частоту. Использую формулу (5.6), определим моду:
Для установления медианного интервала необходимо определять накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит половины суммы накопленных частот (в нашем случае 50 %) (табл. 5.11).
Установили, что медианным является интервал с границами 100 – 120 тыс. руб. Определим теперь медиану:
Таблица 3 - Распределение населения РФ по уровню среднедушевых номинальных денежных доходов в марте 1994г.
| Группы по уровню среднедушевого месячного дохода, тыс. руб. | Удельный вес населения, % |
| До 20 | 1,4 |
| 20 – 40 | 7,5 |
| 40 – 60 | 11,9 |
| 60 – 80 | 12,7 |
| 80 – 100 | 11,7 |
| 100 – 120 | 10,0 |
| 120 – 140 | 8,3 |
| 140 –160 | 6,8 |
| 160 – 180 | 5,5 |
| 180 – 200 | 4,4 |
| 200 – 220 | 3,5 |
| 220 – 240 | 2,9 |
| 240 – 260 | 2,3 |
| 260 – 280 | 1,9 |
| 280 – 300 | 1,5 |
| Свыше 300 | 7,7 |
| Итого | 100,0 |
Таблица 4 - Определение медианного интервала
Таким образом, в качестве обобщенной характеристики значений определенного признака у единиц ранжированной совокупности могут быть использованы средняя арифметическая, мода и медиана.
Основной характеристикой центра распределения является средняя арифметическая, для которой характерно то, что все отклонения от нее (положительные и отрицательные) в сумме равняются нулю. Для медианы характерно, что сумма отклонений от нее по модулю является минимальной, а мода представляет собой значение признака, которое наиболее часто встречается.
Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. В симметричных распределениях все три характеристики совпадают. Чем больше расхождение между модой и средней арифметической, тем более асимметричен ряд. Для умеренно асимметричных рядов разность между модой и средней арифметической примерно в три раза превышает разность между медианой и средней, т.е.:
|Mo –`x| = 3 |Me –`x|.
Определение моды и медианы графическим методом
Моду и медиану в интервальном ряду можно определить графически . Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который является в данном случае модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Из точки их пересечения опускаем перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения (рис. 5.3).
Рис. 5.3. Графическое определение моды по гистограмме.
Рис. 5.4. Графическое определение медианы по кумуляте
Для определения медианы из точки на шкале накопленных частот (частостей), соответствующей 50 %, проводится прямая, параллельная оси абсцисс до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.
Квартили, децили, перцентили
Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах распределения можно отыскать значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Так, например, можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на четыре равные части, на 10 или на 100 частей. Эти величины называются «квартили», «децили», «перцентили».Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на 4 равновеликие части.
Различают квартиль нижний (Q 1), отделяющий ¼ часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний (Q 3), осекающий ¼ часть с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25 % единиц совокупности будут меньше по величине Q 1 ; 25 % единиц будут заключены между Q 1 и Q 2 ; 25 % - между Q 2 и Q 3 , а остальные 25 % превосходят Q 3 . Средним квартилем Q 2 является медиана.
Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используются формулы:
, 
,
где x Q 1 – нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25 %);
x Q 3 – нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75 %);
i – величина интервала;
S Q 1-1 – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;
S Q 3-1 – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему верхний квартиль;
f Q 1 – частота интервала, содержащего нижний квартиль;
f Q 3 – частота интервала, содержащего верхний квартиль.
Рассмотрим расчет нижнего и верхнего квартилей по данным табл. 5.10. Нижний квартиль находится в интервале 60 – 80, накопленная частота которого равна 33,5 %. Верхний квартиль лежит в интервале 160 – 180 с накопленной частотой 75,8 %. С учетом этого получим:
,
.
Кроме квартилей в вариационных радах распределения могут определяться децили – варианты, делящие ранжированный вариационный ряд на десять равных частей. Первый дециль (d 1) делит совокупность в соотношении 1/10 к 9/10, второй дециль (d 1) – в соотношении 2/10 к 8/10 и т.д.
Вычисляются они по формулам:
, 
.
Значения признака, делящие ряд на сто частей, называются перцентилями. Соотношения медианы, квартилей, децилей и перцентилей представлены на рис. 5.5.
Основные понятия
Для экспериментальных данных, полученных по выборке, можно вычислить ряд числовых характеристик (мер).
Мода - числовое значение, которое встречается в выборке наиболее часто. Мода обозначается иногда как Мо.
Например, в ряду значении (2 6 6 8 9 9 9 10) модой является 9, потому что 9 встречается чаше любого другого числа.
Мода представляет собой наиболее часто встречающееся значение (в данном примере это 9) а не частоту встречаемости этого значения (в данном примере равную 3).
Моду находят согласно правилам
1. В случае, когда все значения в выборке встречаются одинаково часто, принято считать, что этот выборочный ряд не имеет моды.
Например, 556677 - в этой выборке моды нет.
2. Когда два соседних (смежных) значения имеют одинаковую частоту и их частота больше частот любых других значений, мода вычисляется как среднее арифметическое этих двух значении.
Например, в выборке 1 2 2 2 5 5 5 6 частоты рядом расположенных значении 2 и 5 совпадают и равняются 3. Эта частота больше чем частота других значении 1 и 6 (у которых она равна 1).
Следовательно, модой этого ряда будет величина .
3) Если два несмежных (не соседних) значения в выборке имеют равные частоты которые больше частот любого другого значения, то выделяют две моды. Например, в ряду 10 11 11 11 12 13 14 14 14 17 модами являются значения 11 и 14. В таком случае говорят, что выборка является бимодальной.
Могут существовать и так называемые мультимодальные распределения, имеющие более двух вершин (мод)
4)Если мода оценивается по множеству сгруппированных данных, то для нахождения моды необходимо определить группу с наибольшей частотой признака. Эта группа называется модальной группой .
Медиана - обозначается Ме и определяется как величина по отношению к которой по крайней мере 50% выборочных значении меньше нее и по крайней мере 50% - больше.
Медиана - это значение которое делит упорядоченное множество данных пополам.
Задача 1. Найдем медиану выборки 9 3 5 8 4 11 13
Решение Сначала упорядочим выборку по величинам входящих в нее значении. Получим, 3 4 5 8 9 11 13. Поскольку в выборке семь элементов, четвертый по порядку элемент будет иметь значение большее чем первые три и меньшее чем последние три. Таким образом, медианой будет четвертый элемент - 8
Задача 2. Найдем медиану выборки 20, 9, 13, 1, 4, 11.
Упорядочим выборку 1, 4, 9, 11, 13, 20 Поскольку здесь имеется четное число элементов, то существует две «середины» - 9 и 13 В этом случае медиана определяется как среднее арифметическое этих значений
Среднее арифметическое
Среднее арифметическое ряда из n числовых значений подсчитывается как
Чтобы показать обманчивость этого показателя, приведём известный пример: в одном купе вагона поместилась бабушка 60 лет с четырьмя внуками: один – 4 года, двое – по 5 лет и один – 6 лет. Среднее арифметическое возраста всех пассажиров этого купе 80/5 = 16. В другом купе расположилась компания молодежи: двое – 15-ти летних, один – 16-летний и двое – 17-летних. Средний возраст пассажиров этого купе так же равен 80/5 = 16. Таким образом, по средним арифметическим пассажиры этих купе не отличаются. Но если обратиться к показателю стандартного отклонения, то окажется, что средний разброс относительно среднего возраста в первом случае окажется 24,6, а во втором случае 1.
Кроме того, среднее оказывается достаточно чувствительным к очень маленьким или очень большим величинам, отличающимся от основных значений измеренных характеристик. Пусть 9 человек имеют доход от 4500 до 5200 тыс долларов в месяц. Величина их среднего дохода равняется 4900 долларов Если же к этой группе добавить человека имеющего доход в 20000 тыс долларов в месяц, то средняя всей группы сместится и окажется равной 6410 долларов, хотя никто из всей выборки (кроме одного человека) реально не получает такой суммы.
Понятно что аналогичное смещение, но в противоположную сторону можно получить и в том случае, если добавить в эту группу человека с очень маленьким годовым доходом.
Разброс выборки
Разброс (размахом ) выборки – разность между максимальной и минимальной величинами данного конкретного вариационного ряда. Обозначается буквой R.
Размах = максимальное значение - минимальное значение
Понятно, что чем сильнее варьирует измеряемый признак, тем больше величина R, и наоборот.
Однако может случиться так, что у двух выборочных рядов и средние, и размах совпадают, однако характер варьирования этих рядов будет различный Например, даны две выборки
Дисперсия
Дисперсия представляет собой наиболее часто использующуюся меру рассеяния случайной величины (переменной).
Дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонений значений переменной от ее среднего значения
Кроме степенных средних в статистике для относительной характеристики величины варьирующего признака и внутреннего строения рядов распределения пользуются структурными средними, которые представлены,в основном, модой и медианой .
Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:
Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.
Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:
М е = (n (число признаков в совокупности) + 1)/2,
в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда).
При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем — значение медианы по формуле:
Пример . Найти моду и медиану.
Решение
:
В данном примере модальный интервал находится в пределах возрастной группы 25-30 лет, так как на этот интервал приходится наибольшая частота (1054).
Рассчитаем величину моды:
Это значит что модальный возраст студентов равен 27 годам.
Вычислим медиану. Медианный интервал находится в возрастной группе 25-30 лет, так как в пределах этого интервала расположена варианта, которая делит совокупность на две равные части (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Далее подставляем в формулу необходимые числовые данные и получаем значение медианы:
Это значит что одна половина студентов имеет возраст до 27,4 года, а другая свыше 27,4 года.
Кроме моды и медианы могут быть использованы такие показатели, как квартили, делящие ранжированный ряд на 4 равные части, децили -10 частей и перцентили — на 100 частей.
Людмила Прокофьевна Калугина (или просто “Мымра”) в замечательном фильме «Служебный роман» поучала Новосельцева: «Статистика - это наука, она не терпит приблизительности». Чтобы не попасть под горячую руку строгой начальнице Калугиной (а заодно и запросто решать задания из ЕГЭ и ГИА с элементами статистики), постараемся разобраться с некоторыми понятиями статистики, которые могут пригодиться не только в тернистом пути покорения экзамена по ЕГЭ, но и просто в повседневной жизни.
Так что же такое Статистика и зачем она нужна? Слово «статистика» происходит от латинского слова «status» (статус), что означает «состояние и положение дел/вещей». Статистика занимается изучением количественной стороны массовых общественных явлений и процессов в числовой форме, выявляя особые закономерности. На сегодняшний день статистика применяется практически во всех сферах общественной жизни, начиная от моды, кулинарии, садоводства и заканчивая астрономией, экономикой, медициной.
Перво-наперво, при знакомстве со статистикой необходимо изучить основные статистические характеристики, применяемые для анализа данных. Ну вот, с этого и начнем!
Статистические характеристики
К основным статистическим характеристикам выборки данных (какая еще такая «выборка»!? Не пугайся, все под контролем, это непонятное слово лишь для запугивания, на самом деле, под словом «выборка» подразумевается просто данные, которые ты собираешься исследовать) относятся:
- объем выборки,
- размах выборки,
- среднее арифметическое,
- мода,
- медиана,
- частота,
- относительная частота.
Стоп-стоп-стоп! Сколько новых слов! Давай обо всем по порядку.
Объем и Размах
Например, в таблице ниже приведен рост игроков сборной по футболу:
Данная выборка представлена элементами. Таким образом, объем выборки равен.
Размах представленной выборки составляет см.
Среднее арифметическое
Не очень понятно? Давай смотреть на наш пример .
Определите средний рост игроков.
Ну что, приступим? Мы уже разбирались, что; .
Можем сразу смело все подставлять в нашу формулу:
Таким образом, средний рост игрока сборной составляет см.
Ну или вот такой пример:
Ученикам 9 класса на неделю было задано решить как можно больше примеров из задачника. Количество примеров, решенных учениками за неделю, приведены ниже:
Найдите среднее количество решенных задач.
Итак, в таблице нам представлены данные по ученикам. Таким образом, . Ну что ж, найдем для начала сумму (общее количество) всех решенных задач двадцатью учениками:
Теперь можем смело приступать к расчету среднего арифметического решенных задач, зная, что, а:
Таким образом, в среднем ученики 9 класса решили по задач.
Вот еще один пример для закрепления.
Пример.
На рынке помидоры реализуются продавцами, причем цены за кг распределены следующим образом (в руб.): . Какова средняя цена килограмма помидоров на рынке?
Решение.
Итак, чему в данном примере равно? Все верно: семь продавцов предлагают семь цен, значит, ! . Ну вот, со всеми составляющими разобрались, теперь можем приступить к расчету средней цены:
Ну что, разобрался? Тогда посчитай самостоятельно среднее арифметическое в следующих выборках:
Ответы: .
Мода и медиана
Обратимся снова к нашему примеру со сборной по футболу:
Чему в данном примере равна мода? Какое число наиболее часто встречается в этой выборке? Все верно, это число, так как два игрока имеют рост см; рост же остальных игроков не повторяется. Тут все должно быть ясно и понятно, да и слово знакомое, правда?
Перейдем к медиане, ты ее должен знать из курса геометрии. Но мне не сложно напомнить, что в геометрии медиана (в переводе с латинского- «средняя») - отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Ключевое слово СЕРЕДИНА. Если ты знал это определение, то тебе легко будет запомнить, что такое медиана в статистике.
Ну что, вернемся к нашей выборке футболистов?
Ты заметил в определении медианы важный момент, который нам еще здесь не встречался? Конечно, «если этот ряд упорядочить»! Наведем порядок в ряду? Для того, чтобы в ряду чисел был порядок, можно расположить значения роста футболистов как в порядке убывания, так и в порядке возрастания. Мне удобней выстроить этот ряд в порядке возрастания (от самого маленького к самому большому). Вот, что у меня получилось:
Так, ряд упорядочили, какой еще есть важный момент в определении медианы? Правильно, четное и нечетное количество членов в выборке. Заметил, что для четного и нечетного количества даже определения отличаются? Да, ты прав, не заметить - сложно. А раз так, то нам надо определиться, четное у нас количество игроков в нашей выборке или нечетное? Все верно - игроков, значит, количество нечетное! Теперь можем применять к нашей выборке менее заковыристое определение медианы для нечетного количества членов в выборке. Ищем число, которое оказалось посередине в нашем упорядоченном ряду:
Ну вот, чисел у нас, значит, по краям остается по пять чисел, а рост см будет медианой в нашей выборке. Не так уж и сложно, правда?
А теперь разберем пример с нашими отчаянными ребятами из 9 класса, которые решали примеры в течение недели:
Готов искать в этом ряду моду и медиану?
Для начала, упорядочим этот ряд чисел (расположим от самого маленького числа к самому большому). Получился вот такой вот ряд:
Теперь можно смело определить моду в данной выборке. Какое число встречается чаще других? Все верно, ! Таким образом, мода в данной выборке равна.
Моду нашли, теперь можем приступать к нахождению медианы. Но прежде, ответь мне: каков объем рассматриваемой выборки? Посчитал? Все верно, объем выборки равен. А - это четное число. Таким образом, применяем определение медианы для ряда чисел с четным количеством элементов. То есть нам надо в нашем упорядоченном ряду найти среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Какие два числа располагаются посередине? Все верно, и!
Таким образом, медианой этого ряда будет среднее арифметическое чисел и:
- медиана рассматриваемой выборки.
Частота и относительная частота
То есть частота определяет то, как часто повторяется та или иная величина в выборке.
Разберемся на нашем примере с футболистами. Перед нами вот такой вот упорядоченный ряд:
Частота - это число повторений какой-либо величины параметра. В нашем случае, это можно считать вот так. Сколько игроков имеет рост? Все верно, один игрок. Таким образом, частота встречи игрока с ростом в нашей выборке равна. Сколько игроков имеет рост? Да, опять же один игрок. Частота встречи игрока с ростом в нашей выборке равна. Задавая такие вопросы и отвечая на них, можно составить вот такую табличку:
Ну вот, все довольно просто. Помни, что сумма частот должна равняться количеству элементов в выборке (объему выборки). То есть в нашем примере:
Перейдем к следующей характеристике - относительная частота.
Обратимся опять к нашему примеру с футболистами. Частоты для каждого значения мы рассчитали, общее количество данных в ряду мы тоже знаем. Рассчитываем относительную частоту для каждого значения роста и получаем вот такую табличку:
А теперь сам составь таблицы частот и относительных частот для примера с 9-классниками, решающими задачи.
Графическое изображение данных
Очень часто для наглядности данные представляются в виде диаграмм/графиков. Остановимся на рассмотрении основных из них:
- столбчатая диаграмма,
- круговая диаграмма,
- гистограмма,
- полигон
Столбчатая диаграмма
Столбчатые диаграммы используют тогда, когда хотят продемонстрировать динамику изменения данных во времени или распределения данных, полученных в результате статистического исследования.
Например, у нас есть вот такие данные об оценках написанной контрольной работы в одном классе:
Количество получивших такую оценку - это у нас и есть частота . Зная это, мы можем составить вот такую вот табличку:
Теперь мы можем построить наглядные столбчатые графики на основе такого показателя как частота (на горизонтальной оси отражены оценки на вертикальной оси откладываем количество учеников, получивших соответствующие оценки):
Или же можем построить соответствующий столбчатый график на основе относительной частоты:
Рассмотрим пример по типу задания В3 из ЕГЭ.
Пример.
На диаграмме показано распределение добычи нефти в странах мира (в тоннах) за 2011 год. Среди стран первое место по добыче нефти занимала Саудовская Аравия, седьмое место - Объединенные Арабские Эмираты. Какое место занимали США?
Ответ: третье.
Круговая диаграмма
Для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой выборки удобно использовать круговые диаграммы.
По нашей табличке с относительными частотами распределения оценок в классе мы можем построить круговую диаграмму, разбив круг на секторы, пропорциональные относительным частотам.
Круговая диаграмма сохраняет свою наглядность и выразительность только при небольшом числе частей совокупности. В нашем случае, таких частей четыре (в соответствии с возможными оценками), поэтому применение такого типа диаграммы достаточно эффективно.
Рассмотрим пример по типу задания 18 из ГИА.
Пример.
На диаграмме показано распределение расходов семьи во время отдыха на море. Определите, на что семья потратила больше всего?
Ответ: проживание.
Полигон
Динамику изменения статистических данных во времени часто изображают с помощью полигона. Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами - соответствующие им статистические данные. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломанную, которую называют полигоном.
Вот, к примеру нам даны среднемесячные температуры воздуха в Москве.
Сделаем приведенные данные более наглядными - построим полигон.
На горизонтальной оси отражены месяцы, на вертикальной - температура. Строим соответствующие точки и соединяем их. Вот, что получилось:
Согласись, сразу стало наглядней!
Полигон, используют также для наглядного изображения распределения данных, полученных в результате статистического исследования.
Вот построенный полигон на основе нашего примера с распределением оценок:
Рассмотрим типовое задание В3 из ЕГЭ.
Пример.
На рисунке жирными точками показана цена алюминия на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с по августа года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена тонны алюминия в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена алюминия на момент закрытия торгов была наименьшей за данный период.
Ответ: .
Гистограмма
Интервальные ряды данных изображают с помощью гистограммы. Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из сомкнутых прямоугольников. Основание каждого прямоугольника равно длине интервала, а высота - частоте или относительной частоте. Таким образом, в гистограмме, в отличие от обычной столбчатой диаграммы, основания прямоугольника выбираются не произвольно, а строго определены длиной интервала.
Вот, к примеру, у нас есть следующие данные о росте игроков, вызванных в сборную:
Итак, нам дана частота
(количество игроков с соответствующим ростом). Мы можем дополнить табличку, рассчитав относительную частоту:
Ну вот, теперь можем строить гистограммы. Сначала построим на основании частоты. Вот, что получилось:
А теперь на основании данных об относительной частоте:
Пример.
На выставку по инновационным технологиям приехали представители компаний. На диаграмме показано распределение этих компаний по количеству персонала. По горизонтали представлено количество сотрудников в компании, по вертикали - количество компаний, имеющих данное число сотрудников.
Какой процент составляют компании с общим числом сотрудников больше человек?
Ответ: .
Краткие итоги
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ.
Объем выборки - количество элементов в выборке.
Размах выборки - разность между максимальным и минимальным значениями элементов выборки.
Среднее арифметическое ряда чисел - это частное от деления суммы этих чисел на их количество (объем выборки).
Мода ряда чисел - число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.
Медиана упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов - число, которое окажется посередине.
Медиана упорядоченного ряда чисел с четным числом членов - среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
Частота - число повторений определенного значения параметра в выборке.
Относительная частота
Для наглядности удобно представлять данные в виде соответствующих диаграмм/графиков
Статистическая выборка - выбранное из всего числа объектов конкретное число объектов для исследования.
Объемом выборки - количество элементов, попавших в выборку.
Размах выборки - разность между максимальным и минимальным значениями элементов выборки.
Или, размах выборки
Среднее арифметическое ряда чисел - это частное от деления суммы этих чисел на их количество
Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.
Медианой ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине, если этот ряд упорядочить.
Частота представляет собой число повторений, сколько раз за какой-то период происходило некоторое событие, проявлялось определенное свойство объекта либо наблюдаемый параметр достигал данной величины.
Относительная частота - это отношение частоты к общему числу данных в ряду.
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!